さあ、今日も１日がんばろう★☆
前スレ
分からない問題はここに書いてね453
http://2chb.net/r/math/1558041041/
(使用済です: 478)
前スレ
分からない問題はここに書いてね453
http://2chb.net/r/math/1558041041/
(使用済です: 478)
ここは分からない問題を書くスレです。
お願いごとをするスレでも分からない問題に答えてもらえるスレでもありません。
お願いごとをするスレでも分からない問題に答えてもらえるスレでもありません。
答えが分かってる問題を書く場所でもないがな
自然数の複雑度を流行らせたい
ある自然数nを1と+と×と()を用いて表すとき最小の1の個数をω(n)とする。
自然数n,kについてω(n^k)＝kω(n)か？
素数pに対してω(p)＝ω(p-1)+1か？
ある自然数nを1と+と×と()を用いて表すとき最小の1の個数をω(n)とする。
自然数n,kについてω(n^k)＝kω(n)か？
素数pに対してω(p)＝ω(p-1)+1か？
ちなみに、集合W(n)をW(1)＝{1}、W(2)＝{1,2}、W(3)＝{1,2,3}、n≧3について
W(n+1)={∀a∈W(n),∀d(dはaが合成数のときのaの約数),∀e(eはaが素数のときのa-1の約数)/
a, a+a/d, a+(a-1)/e}
とすると、ある自然数kに対して、kが集合W(n)に含まれて、i≦kを満たす全ての自然数iに対して
kがW(i)に含まれないことと、ω(k)＝nであることは同値です
W(n+1)={∀a∈W(n),∀d(dはaが合成数のときのaの約数),∀e(eはaが素数のときのa-1の約数)/
a, a+a/d, a+(a-1)/e}
とすると、ある自然数kに対して、kが集合W(n)に含まれて、i≦kを満たす全ての自然数iに対して
kがW(i)に含まれないことと、ω(k)＝nであることは同値です
>>4
ω(n^k)＝kω(n)の反例
ω(11)=8 ;11=(1+1)×(1+1+1+1+1)+1
ω(11^2)=15 ;11^2=(1+1)×(1+1)×(1+1)×(1+1+1)×(1+1+1+1+1)+1
ω(n^k)＝kω(n)の反例
ω(11)=8 ;11=(1+1)×(1+1+1+1+1)+1
ω(11^2)=15 ;11^2=(1+1)×(1+1)×(1+1)×(1+1+1)×(1+1+1+1+1)+1
>>6
反例ありがとうございます 因みにn＝3のときには成り立っていることは証明されています数学セミナーにありました
反例ありがとうございます 因みにn＝3のときには成り立っていることは証明されています数学セミナーにありました
やっぱり部分積分じゃない。
変数がrとθの2つあるでなぁ。
f(x)g(x)みたいに一つの変数xじゃなくて変数が2つある場合だから、この式じゃないと思う。
∬[r=0～ ][θ=0°～ ]――drdθみたいな感じ。
変数がrとθの2つあるでなぁ。
f(x)g(x)みたいに一つの変数xじゃなくて変数が2つある場合だから、この式じゃないと思う。
∬[r=0～ ][θ=0°～ ]――drdθみたいな感じ。
定積分I[x] = ∫[1 to x] 1/{xln(x)} dx に対し、
不等式m < I[n] < m+1を満たす自然数nの個数をa[m]とおく。
mがm=1,2,...と正の整数値をとるとき、
b[m]=a[m+1]/a[m]で定義される数列b[m]について、
その増減、m→∞としたときの極限
をそれぞれ述べよ。
不等式m < I[n] < m+1を満たす自然数nの個数をa[m]とおく。
mがm=1,2,...と正の整数値をとるとき、
b[m]=a[m+1]/a[m]で定義される数列b[m]について、
その増減、m→∞としたときの極限
をそれぞれ述べよ。
I[x] = ∫[1 to x] 1/{xln(x)} dx =
= lim{ε→+0} ∫[1+ε to x] 1/{xln(x)} dx = ln( ln(x) ) - lim{ε→+0} ln( ln(1+ε) )
という理解でOK？ これ発散しますよね？
= lim{ε→+0} ∫[1+ε to x] 1/{xln(x)} dx = ln( ln(x) ) - lim{ε→+0} ln( ln(1+ε) )
という理解でOK？ これ発散しますよね？
>>9
h(r,θ) = 2(1 - r･cosθ),
を入れると
v/2 = ∫[0～1] ∫[0～60ﾟ] h(r,θ) dθ rdr
= ∫[0～1] ∫[0～π/3] 2(1-r･cosθ) dθ rdr
= ∫[0～1] 2r dr･∫[0～π/3] dθ - ∫[0～1] rr dr･∫[0～π/3] 2cosθ dθ
= (π/3) - (1/3)[ 2sinθ ](0→π/3)
= (π-√3)/3,
部分積分しなくても出る。
>>10
J[x] = ∫[e to x] 1/{x･ln(x)} dx = [ ln(ln(x)) ](e to x) = ln(ln(x)),
は収束。
h(r,θ) = 2(1 - r･cosθ),
を入れると
v/2 = ∫[0～1] ∫[0～60ﾟ] h(r,θ) dθ rdr
= ∫[0～1] ∫[0～π/3] 2(1-r･cosθ) dθ rdr
= ∫[0～1] 2r dr･∫[0～π/3] dθ - ∫[0～1] rr dr･∫[0～π/3] 2cosθ dθ
= (π/3) - (1/3)[ 2sinθ ](0→π/3)
= (π-√3)/3,
部分積分しなくても出る。
>>10
J[x] = ∫[e to x] 1/{x･ln(x)} dx = [ ln(ln(x)) ](e to x) = ln(ln(x)),
は収束。
長方形ABCD（AB<AD）の内角∠Aの2等分線をLとする。
L上に点Pを、直線PCと対角線BDが交点を持つようにとる。
このとき、以下を示せ。
「PC=BDとなるための必要十分条件は、PCとBDが直交することである。」
L上に点Pを、直線PCと対角線BDが交点を持つようにとる。
このとき、以下を示せ。
「PC=BDとなるための必要十分条件は、PCとBDが直交することである。」
P=A のときPC=BD
((2n-k)!2^k)/(2n)! に根が存在しないのはなぜ？
スレチだったらすみません。
ベッセル関数が定常波、ハンケル関数が進行波を示すという意味がよくわからないのですが、どういった風に考えれば良いですか？
ベッセル関数が定常波、ハンケル関数が進行波を示すという意味がよくわからないのですが、どういった風に考えれば良いですか？
わからないんですね
あんま興味ある人ないかもだが集合論に関して教えてくれ
ラッセルのパラドックスを生む「集合」Rを定義すると矛盾が導かれることは有名だ
背理法を使った証明において、何らかの「集合」Xを導入して矛盾を示したとする。
この時、XがRと同じように定義するだけで矛盾を導く「集合」ではないことを証明する必要があると思うんだが、
これを行うにはどういう手順を踏むのが普通なのか教えてくれ
ラッセルのパラドックスを生む「集合」Rを定義すると矛盾が導かれることは有名だ
背理法を使った証明において、何らかの「集合」Xを導入して矛盾を示したとする。
この時、XがRと同じように定義するだけで矛盾を導く「集合」ではないことを証明する必要があると思うんだが、
これを行うにはどういう手順を踏むのが普通なのか教えてくれ
>>22
ありがとう。やっぱりそれしかないか
空集合か少なくとも一つ集合を含むことを言えればOKとかそういう便利なのがあればよかったんだが。
公理に戻るのは大変なので、専門書から存在証明がされている集合の定理を探してみるよ
ありがとう。やっぱりそれしかないか
空集合か少なくとも一つ集合を含むことを言えればOKとかそういう便利なのがあればよかったんだが。
公理に戻るのは大変なので、専門書から存在証明がされている集合の定理を探してみるよ
>>13
A(0,0) B(b,0) C(b,d) D(0,d) E(b+d,b+d)
とおく。
Cを中心とし半径BDの円周をKとおく。
AC = BD, CE=BD より A,E ∈ K
∴ K∩L = {A,E} ← 円と直線の交点は高々2つ
P∈L とすると
PC=BD ⇔ P∈(K∩L) ⇔ P∈{A,E}
A(0,0) B(b,0) C(b,d) D(0,d) E(b+d,b+d)
とおく。
Cを中心とし半径BDの円周をKとおく。
AC = BD, CE=BD より A,E ∈ K
∴ K∩L = {A,E} ← 円と直線の交点は高々2つ
P∈L とすると
PC=BD ⇔ P∈(K∩L) ⇔ P∈{A,E}
ハンケル関数は、円筒波（または2次元空間の波）を表わす解であり、内側／外側に伝搬する波を表わす。
>>25
ありがとうございます。
ただ、円筒波を表すと言われても、あの形でなぜ波？となるのですが。
ベッセル関数とノイマン関数の線形結合させたのがハンケル関数のはずですがそもそもなぜ、ハンケル関数を導入したのかと。
ありがとうございます。
ただ、円筒波を表すと言われても、あの形でなぜ波？となるのですが。
ベッセル関数とノイマン関数の線形結合させたのがハンケル関数のはずですがそもそもなぜ、ハンケル関数を導入したのかと。
f(x)=3xx /(2xx +1)とする。
0<z<1、a(1)=z、a(n+1)=f( a(n) )で定める時、
zの値に応じたlim(n→∞) a(n)を求めよ。
これお願いします
某大学の入試ですが、f'(x)が1を越えることがあるので普通の平均値の定理を使った解法では解けません
発想の順序も教えてもらえたら嬉しいっす
0<z<1、a(1)=z、a(n+1)=f( a(n) )で定める時、
zの値に応じたlim(n→∞) a(n)を求めよ。
これお願いします
某大学の入試ですが、f'(x)が1を越えることがあるので普通の平均値の定理を使った解法では解けません
発想の順序も教えてもらえたら嬉しいっす
0<a≤b、0<R、とする。
また領域D、領域Eを以下のように定める。
領域D:
O(0,0),A(a,0),B(a,b),C(0,b)を頂点とする長方形OABCの周上および内部
領域E:
O(0,0)を中心とする半径Rの円の周上および内部
（1）2つの円C_1とC_2を、領域Dからはみ出ないように、かつC_1とC_2が互いに外接するか外部にあるように置く。
C_1とC_2の面積の合計が最大になるような置き方を述べよ。
（2）2つの円K_1とK_2を、（1）と同様に領域E内に置く置き方を述べよ。
また領域D、領域Eを以下のように定める。
領域D:
O(0,0),A(a,0),B(a,b),C(0,b)を頂点とする長方形OABCの周上および内部
領域E:
O(0,0)を中心とする半径Rの円の周上および内部
（1）2つの円C_1とC_2を、領域Dからはみ出ないように、かつC_1とC_2が互いに外接するか外部にあるように置く。
C_1とC_2の面積の合計が最大になるような置き方を述べよ。
（2）2つの円K_1とK_2を、（1）と同様に領域E内に置く置き方を述べよ。
微分についての質問です
x=sinθとおいたとき両辺をθで微分すると
dx/dθ＝cosθとなります
ここで、記号的には「xを微分する」という操作で「xの前にdをつけて、さらに分母にdθをつける」
ことを行いました
その後dx=cosθdθとおいて積分する方法がよく用いられますが、これが気持ち悪くて仕方ありません
dx/dθにはxをθで微分するという意味が与えられているだけで、分数の概念ではありません。
それなのに分数と扱って分子と分母を都合よく切り分けて計算してよいのか疑問です。
x=sinθとおいたとき両辺をθで微分すると
dx/dθ＝cosθとなります
ここで、記号的には「xを微分する」という操作で「xの前にdをつけて、さらに分母にdθをつける」
ことを行いました
その後dx=cosθdθとおいて積分する方法がよく用いられますが、これが気持ち悪くて仕方ありません
dx/dθにはxをθで微分するという意味が与えられているだけで、分数の概念ではありません。
それなのに分数と扱って分子と分母を都合よく切り分けて計算してよいのか疑問です。
>>30
高木貞治先生が解析概論でこの記号は割り算と書いています
微小量に対する微小量の変化を見ているのが本義なので実際本質的意味は割り算です
高木貞治先生が解析概論でこの記号は割り算と書いています
微小量に対する微小量の変化を見ているのが本義なので実際本質的意味は割り算です
Aが0でない定数のとき、
exp(x)=A(1+x)
上記の方程式解ける方いたら、教えてください
exp(x)=A(1+x)
上記の方程式解ける方いたら、教えてください
>>26
なぜ波か？ それは
2次元波動方程式:
{ (∂x)^2+(∂y)^2 - (∂ct)^2 } Ψ = { r^2.(∂r)^2+ r.(∂r) + (1/r).(∂φ) + k^2 } Ψ = 0
Ψ ∝ exp(-iωt), k=ω/c
この一般解(極座標表示) が
Ψ(r,φ,t) = Σ ( a[n]. J_n(kr)+ b[n]. Y_n(kr) ). exp(inφ). exp(-iωt)
のように表せるからです。
J_n, Y_n は定常波 (https://imgur.com/a/CKaxlNo)
H1_n = J_n + i Y_n は外向き進行波 ( https://imgur.com/a/Lrq5Lua )
H2_n = J_n - i Y_n は内向き進行波になっています。
おまけ ( https://imgur.com/a/YPSIGd0 )
3次元波動方程式の場合
{ (∂x)^2+(∂y)^2+(∂z)^2 - (∂ct)^2 } Ψ = { r^2.(∂r)^2+ r.(∂r) + (1/r)(∂φ) + k^2 } Ψ = 0
Ψ ∝ exp(ihz).exp(-iωt), k^2 = (ω/c)^2 - h^2
一般解(円筒座標表示): Ψ = Ψ(r, φ,z, t) = (略)
と、まあ 2次元極座標とほぼ同じ扱いになりますが
k^2 < 0 になる場合は変形ベッセル方程式となります. (解は I_n, K_n で表せる)
なぜ波か？ それは
2次元波動方程式:
{ (∂x)^2+(∂y)^2 - (∂ct)^2 } Ψ = { r^2.(∂r)^2+ r.(∂r) + (1/r).(∂φ) + k^2 } Ψ = 0
Ψ ∝ exp(-iωt), k=ω/c
この一般解(極座標表示) が
Ψ(r,φ,t) = Σ ( a[n]. J_n(kr)+ b[n]. Y_n(kr) ). exp(inφ). exp(-iωt)
のように表せるからです。
J_n, Y_n は定常波 (https://imgur.com/a/CKaxlNo)
H1_n = J_n + i Y_n は外向き進行波 ( https://imgur.com/a/Lrq5Lua )
H2_n = J_n - i Y_n は内向き進行波になっています。
おまけ ( https://imgur.com/a/YPSIGd0 )
3次元波動方程式の場合
{ (∂x)^2+(∂y)^2+(∂z)^2 - (∂ct)^2 } Ψ = { r^2.(∂r)^2+ r.(∂r) + (1/r)(∂φ) + k^2 } Ψ = 0
Ψ ∝ exp(ihz).exp(-iωt), k^2 = (ω/c)^2 - h^2
一般解(円筒座標表示): Ψ = Ψ(r, φ,z, t) = (略)
と、まあ 2次元極座標とほぼ同じ扱いになりますが
k^2 < 0 になる場合は変形ベッセル方程式となります. (解は I_n, K_n で表せる)
訂正
誤: (1/r).(∂φ)
正: (1/r^2).(∂φ)^2
∂x, ∂ct, ∂φ, etc. は ∂/∂x , ∂/(c∂t) , ∂/∂φ, etc. の略記です。
誤: (1/r).(∂φ)
正: (1/r^2).(∂φ)^2
∂x, ∂ct, ∂φ, etc. は ∂/∂x , ∂/(c∂t) , ∂/∂φ, etc. の略記です。
>>30
記号が意味そのものではないとは確かなことなんですけど、長い微分積分の歴史の中でそういう表記が生き残ってきたのにはやはり理由があるんですね
分数と考えても良いのですよ
記号が意味そのものではないとは確かなことなんですけど、長い微分積分の歴史の中でそういう表記が生き残ってきたのにはやはり理由があるんですね
分数と考えても良いのですよ
追加
Y_n の定常波 ( https://imgur.com/a/LoX4UdK )
plot は python のmatplotlib を使用した。
ほんの40行くらいで 3次元プロット, latex形式でタイトル入れ, gif アニメ生成までやってくれた。
Y_n の定常波 ( https://imgur.com/a/LoX4UdK )
plot は python のmatplotlib を使用した。
ほんの40行くらいで 3次元プロット, latex形式でタイトル入れ, gif アニメ生成までやってくれた。
>>30
高校生だろうから深く突っ込む必要はないけど、微分形式というものを考えるとdyやdxなどを単独で扱うことができます
で、ポアンカレの補題というもの(の特殊な場合)から適当な領域上でdy=F(x)dxとなる関数Fが存在することが知られています
実際にはこの関数F(x)が導関数dy/dxですから、この記号dy/dxを「dy=F(x)dxをdxで割ったもの、つまり割り算」と見て差し支えありません
一方で微分を割り算として捉えるとまずい場合もありますが、それは偏微分(多変数関数の各変数に関する微分)というもので浮き彫りになると思います
高校生だろうから深く突っ込む必要はないけど、微分形式というものを考えるとdyやdxなどを単独で扱うことができます
で、ポアンカレの補題というもの(の特殊な場合)から適当な領域上でdy=F(x)dxとなる関数Fが存在することが知られています
実際にはこの関数F(x)が導関数dy/dxですから、この記号dy/dxを「dy=F(x)dxをdxで割ったもの、つまり割り算」と見て差し支えありません
一方で微分を割り算として捉えるとまずい場合もありますが、それは偏微分(多変数関数の各変数に関する微分)というもので浮き彫りになると思います
>>30
分母を払うのはただのニーモニックで、実際には置換積分をやっただけだよ
割り算とか分数とかは忘れな
分母を払うのはただのニーモニックで、実際には置換積分をやっただけだよ
割り算とか分数とかは忘れな
再訂正
誤: { r^2.(∂r)^2+ r.(∂r) + (1/r).(∂φ) + k^2 } Ψ = 0
正: { (∂r)^2+ (1/r).(∂r) + (1/r)^2.(∂φ)^2 + k^2 } Ψ = 0
r^2 を掛けて
{ r^2.(∂r)^2+ r.(∂r) + (∂φ)^2 + (kr)^2 } Ψ = 0
Ψ = f(kr) exp(inφ) exp(-iωt) と変数分離(一価性からの要請により n は整数)、ξ=kr と置いて
ベッセル方程式: { ξ^2.(∂ξ)^2+ ξ.(∂ξ) + (ξ^2 - n^2) } f(ξ) = 0
が得られます。
二階の常微分方程式なので独立な解は 二つ、
それが J_n, Y_n の組 (或いは H1_n , H2_n の組) です。
Y_n の解は r → 0 で発散しますが、 中心部( r = 0 )を含まない境界条件の時に活躍してくれます。
誤: { r^2.(∂r)^2+ r.(∂r) + (1/r).(∂φ) + k^2 } Ψ = 0
正: { (∂r)^2+ (1/r).(∂r) + (1/r)^2.(∂φ)^2 + k^2 } Ψ = 0
r^2 を掛けて
{ r^2.(∂r)^2+ r.(∂r) + (∂φ)^2 + (kr)^2 } Ψ = 0
Ψ = f(kr) exp(inφ) exp(-iωt) と変数分離(一価性からの要請により n は整数)、ξ=kr と置いて
ベッセル方程式: { ξ^2.(∂ξ)^2+ ξ.(∂ξ) + (ξ^2 - n^2) } f(ξ) = 0
が得られます。
二階の常微分方程式なので独立な解は 二つ、
それが J_n, Y_n の組 (或いは H1_n , H2_n の組) です。
Y_n の解は r → 0 で発散しますが、 中心部( r = 0 )を含まない境界条件の時に活躍してくれます。
>>32
-(1+x)･e^{-(1+x)} = -1/(Ae),
より
-(1+x) = W{-1/(Ae)},
x = -W{-1/(Ae)} -1,
W は Lambert のW函数。
-(1+x)･e^{-(1+x)} = -1/(Ae),
より
-(1+x) = W{-1/(Ae)},
x = -W{-1/(Ae)} -1,
W は Lambert のW函数。
2^n (n=1,2,3,...)の一桁目の数は2,4,8,6の周期４で変化する。
一方最上位の数に注目すると2,4,8,1,3,6,1,2,5,1,2,...etcと非周期的に変化して分布も知られています（ベンフォードの定理）
それではその中間の二桁目の数、三桁目の数 、、、最上位の一つ下の数 etc 他の桁の数は周期的に変化するのでしょうか？？
それとも非周期的なんでしょうか？
一方最上位の数に注目すると2,4,8,1,3,6,1,2,5,1,2,...etcと非周期的に変化して分布も知られています（ベンフォードの定理）
それではその中間の二桁目の数、三桁目の数 、、、最上位の一つ下の数 etc 他の桁の数は周期的に変化するのでしょうか？？
それとも非周期的なんでしょうか？
桁数固定したら周期的なのは当たり前だった
分布は決定できるけどね。
最上位からみて二桁目が3である割合とか。
いわゆる一様分布定理の応用。
最上位からみて二桁目が3である割合とか。
いわゆる一様分布定理の応用。
>>28
0<z<1/2 のとき
g(x) = f(x)/x とおく。
g(x) = 3x/(2xx+1) = 1 - (1-x)(1-2x)/(2xx+1) <1,
a(n) は単調減少。a(n)<z<1/2,
また g(x) は |x| < 0.707107 で単調増加。
a(n+1)/a(n) = g(a(n)) ≦ g(z) < g(1/2) = 1,
0 < a(n+1) < z･g(z)^n → 0 (n→∞)
1/2<z<1 のとき
h(x) = [1-f(x)]/(1-x) とおく。
h(x) = (x+1)/(2xx+1) = 1 - x(2x-1)/(2xx+1) < 1,
a(n) は単調増加。a(n)>z>1/2,
また また h(x) は x > 0.224745 で単調減少。
[1-a(n+1)]/[1-a(n)] = h(a(n)) < h(z) < h(1/2) = 1,
0 < 1 - a(n+1) < (1-z)･h(z)^n → 0 (n→∞)
z=1/2 のとき
a(n) = 1/2.
0<z<1/2 のとき
g(x) = f(x)/x とおく。
g(x) = 3x/(2xx+1) = 1 - (1-x)(1-2x)/(2xx+1) <1,
a(n) は単調減少。a(n)<z<1/2,
また g(x) は |x| < 0.707107 で単調増加。
a(n+1)/a(n) = g(a(n)) ≦ g(z) < g(1/2) = 1,
0 < a(n+1) < z･g(z)^n → 0 (n→∞)
1/2<z<1 のとき
h(x) = [1-f(x)]/(1-x) とおく。
h(x) = (x+1)/(2xx+1) = 1 - x(2x-1)/(2xx+1) < 1,
a(n) は単調増加。a(n)>z>1/2,
また また h(x) は x > 0.224745 で単調減少。
[1-a(n+1)]/[1-a(n)] = h(a(n)) < h(z) < h(1/2) = 1,
0 < 1 - a(n+1) < (1-z)･h(z)^n → 0 (n→∞)
z=1/2 のとき
a(n) = 1/2.
>>48
ありがとうございます！
実戦で25分以内にその関数を見つけられるようにするためには、どういう思考の道筋を辿ると良いと思われますか？
ありがとうございます！
実戦で25分以内にその関数を見つけられるようにするためには、どういう思考の道筋を辿ると良いと思われますか？
平均値の定理方式なら、（必要なら）最初の何項かを間引いて平均値の定理が使うといい
25分もあればなんとかなるでしょ
25分もあればなんとかなるでしょ
そうそう。
どんな初項から始めてもならちょっと考えないといけない時もあるけど、具体的に初項指定されてたら大概二三項めから考えればなんとかなるからな。
どんな初項から始めてもならちょっと考えないといけない時もあるけど、具体的に初項指定されてたら大概二三項めから考えればなんとかなるからな。
初項指定されてないだろｗ
ウエメセでできる人にのっかって適当いいたいだけのヤカラが結構いるな。
問題くらいは読め
問題くらいは読め
ちゃんと 0<z<1、a(1)=z と指定されてるぞ甘ったれハゲ
そもそもf'(x)=1の解が0.19221…と0.74767…あたりなんだが
最初2-3項調べて一体何をどうする気なんだかｗ
問題触りすらしない一言居士見ると笑っちまうな
最初2-3項調べて一体何をどうする気なんだかｗ
問題触りすらしない一言居士見ると笑っちまうな
グラフ描けば一目瞭然じゃーん、終わり。
としたいけど、それじゃダメなんですよね。
どうしたらいいのか分からんけど、
この種の「一目瞭然」を統一的に扱うにはどうしたらいいのかね？
毎回、>>48 みたいな工夫をしないといけないの？
としたいけど、それじゃダメなんですよね。
どうしたらいいのか分からんけど、
この種の「一目瞭然」を統一的に扱うにはどうしたらいいのかね？
毎回、>>48 みたいな工夫をしないといけないの？
まず1未満の正の数rを選ぶ。
交点を通り傾きが±rの直線を引く。
何項か計算して(a(n),a(n+1))がその二本の直線に挟まれたエリアに入ったら完。
交点を通り傾きが±rの直線を引く。
何項か計算して(a(n),a(n+1))がその二本の直線に挟まれたエリアに入ったら完。
>>57
これ試験に書いても満点はもらえないとされてるようですね。部分点はくれるでしょうが。
しかしこれで…うーん…
どういう理屈で説明すれば完璧になるんでしょうね？
これ試験に書いても満点はもらえないとされてるようですね。部分点はくれるでしょうが。
しかしこれで…うーん…
どういう理屈で説明すれば完璧になるんでしょうね？
>>40
反例ありがとうございます。 そうでしたか。結局全部の予想が外れてて残念です
でも複雑度は結構面白いので皆さんも考えてみては？
反例ありがとうございます。 そうでしたか。結局全部の予想が外れてて残念です
でも複雑度は結構面白いので皆さんも考えてみては？
>>27
h は 平面PBC (正三角錐PABCの一面) の高さです。
(x,y) 座標では h = 2(1+y) です。(y=0 で 2, y=-1 で 0 だから)
(r,θ) 座標では h = 2(1-r･cosθ) です。
h は 平面PBC (正三角錐PABCの一面) の高さです。
(x,y) 座標では h = 2(1+y) です。(y=0 で 2, y=-1 で 0 だから)
(r,θ) 座標では h = 2(1-r･cosθ) です。
>>59
0<|z|<1/2の時
第２項は0<x<1/2
r=a(2)とおくと2以上のnで(a(n),a(n+1))は領域0<x<1、|y|<|rx|
以下ry
1/2<|z|<1の時
第２項は1/2<x<1
r=|a(2)-1|とおくと2以上のnで(a(n),a(n+1))は領1/2<x<1、|y-1|≦r|x-1|
以下ry
|z|>1/2の時
第２項は1/2<x<1
r=f'(1)とおくと2以上のnで(a(n),a(n+1))は領1/2<x<1、|y-1|≦r|x-1|
以下ry
0<|z|<1/2の時
第２項は0<x<1/2
r=a(2)とおくと2以上のnで(a(n),a(n+1))は領域0<x<1、|y|<|rx|
以下ry
1/2<|z|<1の時
第２項は1/2<x<1
r=|a(2)-1|とおくと2以上のnで(a(n),a(n+1))は領1/2<x<1、|y-1|≦r|x-1|
以下ry
|z|>1/2の時
第２項は1/2<x<1
r=f'(1)とおくと2以上のnで(a(n),a(n+1))は領1/2<x<1、|y-1|≦r|x-1|
以下ry
（1）等式 3^n = k^2 - 40 を満たす自然数の組(n,k)を全て求めよ。
mは1以上99以下の整数とする。
（2）等式3^n = k^2 - m を満たす自然数の組(n,k)が存在しないようにmを定めることができる。このことを示せ。
（3）（2）のようなmを全て求めよ。
mは1以上99以下の整数とする。
（2）等式3^n = k^2 - m を満たす自然数の組(n,k)が存在しないようにmを定めることができる。このことを示せ。
（3）（2）のようなmを全て求めよ。
>>28 のタイプの問題を 統一的に扱う件、少し考えてみた
y=f(x) は単調増加な連続関数とする
■1 a[1] < f( a[1] ) = a[2] の場合
開区間族 S := { (a[1],t) ; x ∈ (a[1],t) → x < f(x) }
合併区間 U:= ∪ S = (a[1], q) (非有界なら q=+∞)
α := f(q)
とする。
連続性により, 任意のε(>0) に対し δ(>0)が存在して |τ-q|≦δ → |f(τ)-α|≦ε
Uの定義より、あるτについて q<τ<q+δ かつ f(τ) ≦ τ (単調増加より f(τ)=τ である)
α-ε ≦ f(τ) = τ < q+δ ≦ f(q+δ) ≦ α+ε
ε→0 により q=α が得られる.
(具体的な αはグラフで交点を求めて、数式で Uの性質を満たす事を示せばよい )
●1.1 a[n]∈U かつ a[n+1] not∈ U となる n が存在する場合
あるτについて a[n] < τ ≦ a[n+1] かつ τ=f(τ) (∵中間値の定理)
a[n] < τ ≦ a[n+1]=f(a[n]) ≦ f(τ)=τ (∵単調増加)
よって a[n+1]=τ
αの定義より α≦τ , 単調増加より τ=f(a[n]) ≦ f(α)=α よって τ=α
α=a[n+1] = f(α) = ff(α) = f...f(α)
つまり lim a[n]=α
●1.2 a[n]∈U かつ a[n+1] not∈ U となる n が存在しない場合
a[1] < a[2] < ... < α である。
lim a[n] = β ≦ α (上に有界の場合) とする. (収束しなければ lim a[n]= +∞ = α である)
任意のε(>0) に対し ある N が存在して n>N → β-ε < a[n]<a[n+1]=f(a[n]) < β
よって lim{ f(a[n]) - a[n] }= f(β) - β = 0, 前と同様の論法で β=α
つまり lim a[n]=α
■2 a[1] > f( a[1] ) = a[2] の場合
1と同様の論法で処理
■3 a[1] = f( a[1] ) = a[2] の場合
明らか
y=f(x) は単調増加な連続関数とする
■1 a[1] < f( a[1] ) = a[2] の場合
開区間族 S := { (a[1],t) ; x ∈ (a[1],t) → x < f(x) }
合併区間 U:= ∪ S = (a[1], q) (非有界なら q=+∞)
α := f(q)
とする。
連続性により, 任意のε(>0) に対し δ(>0)が存在して |τ-q|≦δ → |f(τ)-α|≦ε
Uの定義より、あるτについて q<τ<q+δ かつ f(τ) ≦ τ (単調増加より f(τ)=τ である)
α-ε ≦ f(τ) = τ < q+δ ≦ f(q+δ) ≦ α+ε
ε→0 により q=α が得られる.
(具体的な αはグラフで交点を求めて、数式で Uの性質を満たす事を示せばよい )
●1.1 a[n]∈U かつ a[n+1] not∈ U となる n が存在する場合
あるτについて a[n] < τ ≦ a[n+1] かつ τ=f(τ) (∵中間値の定理)
a[n] < τ ≦ a[n+1]=f(a[n]) ≦ f(τ)=τ (∵単調増加)
よって a[n+1]=τ
αの定義より α≦τ , 単調増加より τ=f(a[n]) ≦ f(α)=α よって τ=α
α=a[n+1] = f(α) = ff(α) = f...f(α)
つまり lim a[n]=α
●1.2 a[n]∈U かつ a[n+1] not∈ U となる n が存在しない場合
a[1] < a[2] < ... < α である。
lim a[n] = β ≦ α (上に有界の場合) とする. (収束しなければ lim a[n]= +∞ = α である)
任意のε(>0) に対し ある N が存在して n>N → β-ε < a[n]<a[n+1]=f(a[n]) < β
よって lim{ f(a[n]) - a[n] }= f(β) - β = 0, 前と同様の論法で β=α
つまり lim a[n]=α
■2 a[1] > f( a[1] ) = a[2] の場合
1と同様の論法で処理
■3 a[1] = f( a[1] ) = a[2] の場合
明らか
AB=1、AD=aの長方形ABCDと相似な長方形PAQDがあり、5点A,B,C,D,Pは同一円周上にある。
aの値を求めよ。
aの値を求めよ。
>>65
そんな図形あり得る？
ADは長方形ABCDの外接円の直径にはなり得ない
Pも同一円周上にあるなら∠APDは直角にはなり得ないのでPAQDという長方形は作れないんじゃ？
そんな図形あり得る？
ADは長方形ABCDの外接円の直径にはなり得ない
Pも同一円周上にあるなら∠APDは直角にはなり得ないのでPAQDという長方形は作れないんじゃ？
>>64
> 連続性により, 任意のε(>0) に対し δ(>0)が存在して |τ-q|≦δ → |f(τ)-α|≦ε ...
(ここは以下のように変更可能 )
∀ε ∃τ (q-ε < τ < q) ∧ ( τ < f(τ) )
q-ε < τ < f(τ) ≦ f(q) = α ∴ q ≦ α
∀ε ∃τ ( q ≦ τ < q+ε ) ∧ ( f(τ) ≦ τ )
α= f(q)≦ f(τ)≦τ <q+ε ∴ α ≦ q
よって α = q
> あるτについて a[n] < τ ≦ a[n+1] かつ τ=f(τ) (∵中間値の定理) ...
(中間値の定理は 連続性をを使っているが、以下のように変更可能)
∀x ∈ (a[1],a[n] ) x < f(x)
a[n+1] not∈ (a[1], α ) より a[n]≦ α ≦ a[n+1]
f(α) = α ≦ a[n+1] = f(a[n]) ≦ f(α) =α
よって a[n+1] = α
つまり前提は「y=f(x) は単調増加」だけでよい。
連続性、微分可能性は不要
> 連続性により, 任意のε(>0) に対し δ(>0)が存在して |τ-q|≦δ → |f(τ)-α|≦ε ...
(ここは以下のように変更可能 )
∀ε ∃τ (q-ε < τ < q) ∧ ( τ < f(τ) )
q-ε < τ < f(τ) ≦ f(q) = α ∴ q ≦ α
∀ε ∃τ ( q ≦ τ < q+ε ) ∧ ( f(τ) ≦ τ )
α= f(q)≦ f(τ)≦τ <q+ε ∴ α ≦ q
よって α = q
> あるτについて a[n] < τ ≦ a[n+1] かつ τ=f(τ) (∵中間値の定理) ...
(中間値の定理は 連続性をを使っているが、以下のように変更可能)
∀x ∈ (a[1],a[n] ) x < f(x)
a[n+1] not∈ (a[1], α ) より a[n]≦ α ≦ a[n+1]
f(α) = α ≦ a[n+1] = f(a[n]) ≦ f(α) =α
よって a[n+1] = α
つまり前提は「y=f(x) は単調増加」だけでよい。
連続性、微分可能性は不要
移行って＝超えればプラスマイナス逆になるんだよね？
b-a=3を変形したらa=b-3になったんだけどわかる人いる？
b-a=3を変形したらa=b-3になったんだけどわかる人いる？
>>68
○＝△の関係があるとき、
両辺に同じ数字や式を足す、引く、0以外の数をかける、などしても両辺イコールの関係はずっと成立する
例えば
○＋３＝△＋３
○＋a＝△+aになる
なので
b-a=3
↓(両辺にaを足す)
b=3+a
↓(両辺から3を引く)
b-3=a
○＝△の関係があるとき、
両辺に同じ数字や式を足す、引く、0以外の数をかける、などしても両辺イコールの関係はずっと成立する
例えば
○＋３＝△＋３
○＋a＝△+aになる
なので
b-a=3
↓(両辺にaを足す)
b=3+a
↓(両辺から3を引く)
b-3=a
>>67 (訂正)
●1.2 にて、lim a[n] = β → lim f(a[n]) = f(β) つまり連続性を使ってしまっている.
さらによく考えてみれば, 連続でないなら α ;= f(q) で α ≠ q の場合もある.
なので、もう少し修正が必要だが、それでも連続性の前提は外せると思う。
●1.2 にて、lim a[n] = β → lim f(a[n]) = f(β) つまり連続性を使ってしまっている.
さらによく考えてみれば, 連続でないなら α ;= f(q) で α ≠ q の場合もある.
なので、もう少し修正が必要だが、それでも連続性の前提は外せると思う。
>>63
(1)
(2,7) (4,11)
(2)
3^2 = 9 ≡ 1 (mod 8)
3^n ≡ 1,3 (mod 8)
kk ≡ 0,1,4 (mod 8)
∴ m = kk - 3^n ≠ 2,4 (mod 8)
(1)
(2,7) (4,11)
(2)
3^2 = 9 ≡ 1 (mod 8)
3^n ≡ 1,3 (mod 8)
kk ≡ 0,1,4 (mod 8)
∴ m = kk - 3^n ≠ 2,4 (mod 8)
平面上にn個（n≥4）の点がある。
これらのうちどの4個を選んでもそれらが同一円周上にあるならば、n個の点全てはある1つの円周上にあることを示せ。
これらのうちどの4個を選んでもそれらが同一円周上にあるならば、n個の点全てはある1つの円周上にあることを示せ。
高専3年
偏導関数の応用
以下urlの不等式条件付き最大値最小値問題が分かりません。
等式が成り立っている楕円上はラグランジュの未定乗数法で求まると思うのですが、楕円内の最大値最小値の求め方が分かりません。
よろしくお願いします。
偏導関数の応用
以下urlの不等式条件付き最大値最小値問題が分かりません。
等式が成り立っている楕円上はラグランジュの未定乗数法で求まると思うのですが、楕円内の最大値最小値の求め方が分かりません。
よろしくお願いします。
>>72 (続き)
連続性の前提を外す件
↓こういう気持ち悪い逃げ道ができる事があるので、やめたほうがよさそう。
しょうもない追加前提が必要になってくる。
連続性の前提を外す件
↓こういう気持ち悪い逃げ道ができる事があるので、やめたほうがよさそう。
しょうもない追加前提が必要になってくる。
x(x+y)-y^2=1
を満たす自然数の組(x,y)は無数に存在することを示し、そのうちxが10番目に小さい組を求めよ。
を満たす自然数の組(x,y)は無数に存在することを示し、そのうちxが10番目に小さい組を求めよ。
陰関数定理について質問させてください。
f(x, y)=0のとき、y’=-fx/fyという定理です。
レムニスケート曲線4(x^2+y^2)^2-(x^2-y^2)=0(
)
にこれを使うと、(x, y)=(0, 0), (±√6/8, ±√2/8)にてy’=0となることがわかります。しかし、実際には(0,0)ではy'=0ではありません。なぜこのようなことが起きるのでしょうか？この点は、陰関数定理を適用できる条件を満たしていないのでしょうか？
よろしくお願いします。
f(x, y)=0のとき、y’=-fx/fyという定理です。
レムニスケート曲線4(x^2+y^2)^2-(x^2-y^2)=0(
) にこれを使うと、(x, y)=(0, 0), (±√6/8, ±√2/8)にてy’=0となることがわかります。しかし、実際には(0,0)ではy'=0ではありません。なぜこのようなことが起きるのでしょうか？この点は、陰関数定理を適用できる条件を満たしていないのでしょうか？
よろしくお願いします。
λλΠλΠΣΨΣΨΠΔ
ΣλΠΣΨτΨδζοΓ
ΣλΠΣΨτΨδζοΓ
>>82
統合失調症はどこでも嫌われるだろw
スレの使い方明らかに間違えてるんだから
言外の意味を理解できない5chによくいる糖質の典型例
統合失調症はどこでも嫌われるだろw
スレの使い方明らかに間違えてるんだから
言外の意味を理解できない5chによくいる糖質の典型例
>>78
・xyt空間曲面: f(x,y,t) = xx/4 + yy + tt = 1 (t≧0) ...(1)
・その法線ベクトル: (x/2, 2y, 2t )
・xyt空間平面: x + y + t = z ...(2)
・その法線ベクトル: (1,1,1)
■ t ＞ 0
zが極値をとる条件は 2つの法線ベクトルが平行になっている事 (実質上はラグランジュ未定乗数法そのもの)
(x/2, 2y, 2t ) = k*(1,1,1) {k:比例係数}
(1)に代入して 4kk/4 + kk/4 + kk/4 = 1 ∴ k = ±√(2/3)
z = x + y + t = 2k + k/2 + k/2 = 3k = ±√6
■ t = 0
・xx/4 + yy = 1
・x + y = z
今度は 2次元版で同様に処理する
(x/2, 2y) = k'*(1,1)
4k'k'/4 + k'k'/4 = 1 ∴ k' = ±2/√(5)
z = 2k' + k'/2 = (5/2)*k' = ±√5
よって +√6 が最大値, -√5 が最小値である
てか... 右上に偏導関数だとか書いてあるんですけど...
え？大学受験レベルでそういうのアリなの？
・xyt空間曲面: f(x,y,t) = xx/4 + yy + tt = 1 (t≧0) ...(1)
・その法線ベクトル: (x/2, 2y, 2t )
・xyt空間平面: x + y + t = z ...(2)
・その法線ベクトル: (1,1,1)
■ t ＞ 0
zが極値をとる条件は 2つの法線ベクトルが平行になっている事 (実質上はラグランジュ未定乗数法そのもの)
(x/2, 2y, 2t ) = k*(1,1,1) {k:比例係数}
(1)に代入して 4kk/4 + kk/4 + kk/4 = 1 ∴ k = ±√(2/3)
z = x + y + t = 2k + k/2 + k/2 = 3k = ±√6
■ t = 0
・xx/4 + yy = 1
・x + y = z
今度は 2次元版で同様に処理する
(x/2, 2y) = k'*(1,1)
4k'k'/4 + k'k'/4 = 1 ∴ k' = ±2/√(5)
z = 2k' + k'/2 = (5/2)*k' = ±√5
よって +√6 が最大値, -√5 が最小値である
てか... 右上に偏導関数だとか書いてあるんですけど...
え？大学受験レベルでそういうのアリなの？
精神分析は別スレで
>>78
7.27
xx/4 + yy ≦ 1 の範囲を x,y が動くとき、関数
ｚ = x + y + √(1 -xx/4 -yy),
の最大値および最小値を求めよ。 (長岡技科大)
--------------------------------------------
x = 2a cos(t), y = a sin(t) とおく。 >>80
題意より 0≦a≦1,
(1) まづ θを一周すると
(x+y)^2 = 5(xx/4 + yy) - (x/2 - 2y)^2 = {5 - [cos(t)-2sin(t)]^2}aa ≦ 5aa,
(等号は y=x/4, tan(t)=1/2 のとき)
-(√5)a ≦ x+y ≦ (√5)a,
よって
-(√5)a + √(1-aa) ≦ z ≦ (√5)a + √(1-aa),
(2) 次に 0≦a≦1 で動かす。
-√5 ≦ z ≦ √6,
(左等号は a=1 のとき。右等号は a=√(5/6) のとき)
7.27
xx/4 + yy ≦ 1 の範囲を x,y が動くとき、関数
ｚ = x + y + √(1 -xx/4 -yy),
の最大値および最小値を求めよ。 (長岡技科大)
--------------------------------------------
x = 2a cos(t), y = a sin(t) とおく。 >>80
題意より 0≦a≦1,
(1) まづ θを一周すると
(x+y)^2 = 5(xx/4 + yy) - (x/2 - 2y)^2 = {5 - [cos(t)-2sin(t)]^2}aa ≦ 5aa,
(等号は y=x/4, tan(t)=1/2 のとき)
-(√5)a ≦ x+y ≦ (√5)a,
よって
-(√5)a + √(1-aa) ≦ z ≦ (√5)a + √(1-aa),
(2) 次に 0≦a≦1 で動かす。
-√5 ≦ z ≦ √6,
(左等号は a=1 のとき。右等号は a=√(5/6) のとき)
>>81
フィボナッチ数を F_n とおく。
G_n = F_n･{F_n + F_(n+1)} - {F_(n+1)}^2
= F_n･{2F_n + F_(n-1)} - {F_n + F_(n-1)}^2
= (F_n)^2 - F_(n-1)･{F_(n-1) + F_n}
= - G_(n-1)
= ･････
= (-1)^(n-1)・G_1
= (-1)^(n-1) {F_1･(F_1+F_2) - (F_2)^2}
= (-1)^(n-1),
∴ (x, y) = (F_{2m-1}, F_{2m}) は題意を満たす。(mは自然数)
m=10 のとき (F_19, F_20) = (4181, 6765)
>>84
おいらの連鎖律
フィボナッチ数を F_n とおく。
G_n = F_n･{F_n + F_(n+1)} - {F_(n+1)}^2
= F_n･{2F_n + F_(n-1)} - {F_n + F_(n-1)}^2
= (F_n)^2 - F_(n-1)･{F_(n-1) + F_n}
= - G_(n-1)
= ･････
= (-1)^(n-1)・G_1
= (-1)^(n-1) {F_1･(F_1+F_2) - (F_2)^2}
= (-1)^(n-1),
∴ (x, y) = (F_{2m-1}, F_{2m}) は題意を満たす。(mは自然数)
m=10 のとき (F_19, F_20) = (4181, 6765)
>>84
おいらの連鎖律
>>81
(x, y) = (1, 1) は題意を満たす。
(a+b){(a+b)+(a+2b)} - (a+2b)^2 = a(a+b) - b^2,
∴ (x, y) = (a, b) が題意を満たすならば (a+b, a+2b) も題意を満たす。(終)
(x, y) = (1, 1) は題意を満たす。
(a+b){(a+b)+(a+2b)} - (a+2b)^2 = a(a+b) - b^2,
∴ (x, y) = (a, b) が題意を満たすならば (a+b, a+2b) も題意を満たす。(終)
>>89
なるほど!
この方法で解くとエレガントですね。
わかりやすい解説ありがとうございました。
また機会がありましたらよろしくお願いします。
なるほど!
この方法で解くとエレガントですね。
わかりやすい解説ありがとうございました。
また機会がありましたらよろしくお願いします。
下記のような式は微積分のどういう分野で出てくるのですか？
∫logyf(xy)dy=G(y,x)
∫logyf(xy)dy=G(y,x)
r=0 は円柱の軸 (z軸、OP),
θ=0ﾟ は ∠BOCの中央の向き (OAと反対の方向）
なお、PABCは正四面体ではなく正三角柱。
θ=0ﾟ は ∠BOCの中央の向き (OAと反対の方向）
なお、PABCは正四面体ではなく正三角柱。
>>81
ss = Solve[x^2 + x y - y^2 == 1 , y];
n = 1;
Do[
If[IntegerQ[py = (y /. ss[[2]])], Print[{n++, x, py}]], {x, 0,
10000}]
{1,1,1}
{2,2,3}
{3,5,8}
{4,13,21}
{5,34,55}
{6,89,144}
{7,233,377}
{8,610,987}
{9,1597,2584}
{10,4181,6765}
で片が付く
証明？ フィボナッチが当然でてくるが、それをしらなくても なんとかできるでしょう
1５以上は計算時間がかかりそうだね
ss = Solve[x^2 + x y - y^2 == 1 , y];
n = 1;
Do[
If[IntegerQ[py = (y /. ss[[2]])], Print[{n++, x, py}]], {x, 0,
10000}]
{1,1,1}
{2,2,3}
{3,5,8}
{4,13,21}
{5,34,55}
{6,89,144}
{7,233,377}
{8,610,987}
{9,1597,2584}
{10,4181,6765}
で片が付く
証明？ フィボナッチが当然でてくるが、それをしらなくても なんとかできるでしょう
1５以上は計算時間がかかりそうだね
0<α<β<90とする。
PA=a、PB=bである△PABにおいて、∠A=α°、∠B=β°とする。
このとき、以下の極限を求めよ。
lim[β→α]{cosβ°-cosα°}/(b^2-a^2)
PA=a、PB=bである△PABにおいて、∠A=α°、∠B=β°とする。
このとき、以下の極限を求めよ。
lim[β→α]{cosβ°-cosα°}/(b^2-a^2)
数学の新発見をしたと思うので証明など送ろうと日本数学会にホームページに行ったが
送り先などを受け付けるメアドなどが分からない
ちょうどそこにおいてあるログインメール先にちょっと聞きに行ったら
システムバグってる。たぶん管理者このバグで動かないのに気が付いてない。
誰か日本数学会へのアクセス知らない？
>アカウント作成（Activation）等のアクティベーションシステムに関するお問い合わせ受付は6月19日（水）17時までで一時停止しています。
>これ以降のお問い合わせについては、7月1日以降に順次対応いたします。
>どうぞよろしくお願いいたします。
>日本数学会事務局
送り先などを受け付けるメアドなどが分からない
ちょうどそこにおいてあるログインメール先にちょっと聞きに行ったら
システムバグってる。たぶん管理者このバグで動かないのに気が付いてない。
誰か日本数学会へのアクセス知らない？
>アカウント作成（Activation）等のアクティベーションシステムに関するお問い合わせ受付は6月19日（水）17時までで一時停止しています。
>これ以降のお問い合わせについては、7月1日以降に順次対応いたします。
>どうぞよろしくお願いいたします。
>日本数学会事務局
Wolfram言語はプラットフォームに最適化された
最新のコードを使って，初等関数を非常に効率的に
機械精度で評価するだけでなく，多くの独自のアルゴリズムを
使って任意精度において世界最速で評価することもできる．
Wolfram言語は記号関数と変換の高度な繋がりにより，
過去には主要な数学的成果とみなされていた
結果を簡単に得て，初等関数について
厳密な数値・代数操作を行うことができる．
最新のコードを使って，初等関数を非常に効率的に
機械精度で評価するだけでなく，多くの独自のアルゴリズムを
使って任意精度において世界最速で評価することもできる．
Wolfram言語は記号関数と変換の高度な繋がりにより，
過去には主要な数学的成果とみなされていた
結果を簡単に得て，初等関数について
厳密な数値・代数操作を行うことができる．
>>100
β = α + δ, b = a - δ' と置く
正弦定理より a sinα = b sinβ = (a - δ' )sin(α + δ) = (a - δ' ){ sinα + δ.cosα + o(δ^2) }
δ' sinα = a δ.cosα - δ'δ.cosα + o(δ^2) ∴ lim (δ/δ') = tanα / a
{cosβ-cosα}/(b^2-a^2) = {cos(α + δ)-cosα}/{(2a - δ')(-δ')} = sinα/(2a) * δ/δ' + o(δ^2)
= sinα/(2a) * tanα /a + o(δ^2)
→ sinα tanα /(2aa)
β = α + δ, b = a - δ' と置く
正弦定理より a sinα = b sinβ = (a - δ' )sin(α + δ) = (a - δ' ){ sinα + δ.cosα + o(δ^2) }
δ' sinα = a δ.cosα - δ'δ.cosα + o(δ^2) ∴ lim (δ/δ') = tanα / a
{cosβ-cosα}/(b^2-a^2) = {cos(α + δ)-cosα}/{(2a - δ')(-δ')} = sinα/(2a) * δ/δ' + o(δ^2)
= sinα/(2a) * tanα /a + o(δ^2)
→ sinα tanα /(2aa)
質問だけじゃまずいか
問題に答えるスレらしいので
>>81
(loop for x from 1 to 100000 do (loop for y from 1 to 100000 when (eq 1 (- (* x (+ x y)) (expt y 2))) do (format t "x:~a y:~a~%" x y)))
x:1 y:1
x:2 y:3
x:5 y:8
x:13 y:21
x:34 y:55
x:89 y:144
x:233 y:377
x:610 y:987
x:1597 y:2584
x:4181 y:6765
問題に答えるスレらしいので
>>81
(loop for x from 1 to 100000 do (loop for y from 1 to 100000 when (eq 1 (- (* x (+ x y)) (expt y 2))) do (format t "x:~a y:~a~%" x y)))
x:1 y:1
x:2 y:3
x:5 y:8
x:13 y:21
x:34 y:55
x:89 y:144
x:233 y:377
x:610 y:987
x:1597 y:2584
x:4181 y:6765
発見した内容は大まかにいえば
実数と直交する虚数とは異なるもう一つの虚数の世界がある、
3次方程式の実数解はその空間の円を3等分した写像である
さらに4次方程式も同様に扱える(Rを出し、jのデータを出し、回転させる)
こんな感じの定理は今までの数学にはある？
実数と直交する虚数とは異なるもう一つの虚数の世界がある、
3次方程式の実数解はその空間の円を3等分した写像である
さらに4次方程式も同様に扱える(Rを出し、jのデータを出し、回転させる)
こんな感じの定理は今までの数学にはある？
教科書で3時方程式ではカルダーノ、4次はデカルトとかでてきたけど
これ全然書いてないのが、もし知られてるならおかしい
幾何学的にも代数的にも綺麗で3時も4次も同じメソッドで解けるとか最高にクール
これ全然書いてないのが、もし知られてるならおかしい
幾何学的にも代数的にも綺麗で3時も4次も同じメソッドで解けるとか最高にクール
なるほど、今度の診察の時おくすり増やしてもらおうね
奇数の完全数くんみたいに論文（）をハゲ散らかしてみたら？
歴史的大成果？を挙げた奇数の完全数くんですら、コツコツとwebで論文ハゲ散らかしだよ
200くらい版を重ねて
200くらい版を重ねて
名前のデフォルトにもなっているように、ここ素数好きみたいだから
お土産として素数ジェネレータのコード置いておくよ
https://pastebin.com/EEQkRR1W
速度の出せるC言語でキャッシュ層無しで3MBもメモリ使わない感じ
10000000000未満の素数全部書き出すコード
テキストファイルに全出力流し込むと約5GBぐらいになるはずだ
速度は1秒間に1万個ぐらい素数見つけるペースだから
たぶん日常生活で素数表見たくなったら1秒ぐらいで十分なんじゃないでしょうか
素数しばらく見ないならファイル消してコードだけ持っていればほぼファイルサイズ0で保存がきき
必要なら数ギガバイトとか出力しておけば色々調べるのに便利かも
ここの住民騒がせたちょっとしたお詫びも兼ねる
お土産として素数ジェネレータのコード置いておくよ
https://pastebin.com/EEQkRR1W
速度の出せるC言語でキャッシュ層無しで3MBもメモリ使わない感じ
10000000000未満の素数全部書き出すコード
テキストファイルに全出力流し込むと約5GBぐらいになるはずだ
速度は1秒間に1万個ぐらい素数見つけるペースだから
たぶん日常生活で素数表見たくなったら1秒ぐらいで十分なんじゃないでしょうか
素数しばらく見ないならファイル消してコードだけ持っていればほぼファイルサイズ0で保存がきき
必要なら数ギガバイトとか出力しておけば色々調べるのに便利かも
ここの住民騒がせたちょっとしたお詫びも兼ねる
>>100
a,b が定数の場合
sinα/sinβ = sin(∠A)/sin(∠B) = PB / PA = b/a,
β→α とできるから a=b？
a,b が変数の場合
PABのサイズを自由に変更できるので不定？
a,b が定数の場合
sinα/sinβ = sin(∠A)/sin(∠B) = PB / PA = b/a,
β→α とできるから a=b？
a,b が変数の場合
PABのサイズを自由に変更できるので不定？
tを実数の定数とする。
-1≤x≤1において、以下の2つの関数の値域が一致するという。
f(x)=|ax^2+tx+c|
g(x)=|cx^2+tx+a|
このとき、ac≠0である実数a,cが満たすべき関係式を求めよ。
-1≤x≤1において、以下の2つの関数の値域が一致するという。
f(x)=|ax^2+tx+c|
g(x)=|cx^2+tx+a|
このとき、ac≠0である実数a,cが満たすべき関係式を求めよ。
>>118
早速走らせてみました。 長くては困るので１００００以下にしましたが、
言われた通りです。
Cを使わなくなってひさしいのですが、昔通りのCで懐かしいです。
ありがとうございました。
早速走らせてみました。 長くては困るので１００００以下にしましたが、
言われた通りです。
Cを使わなくなってひさしいのですが、昔通りのCで懐かしいです。
ありがとうございました。
a,θ,αを正の定数とする。
PA=a、∠P=θ、∠A=αの△PABを考える。
∠B=βとしてβを変化させる（すなわち、それに伴いPB=xも変化する）。
このとき、以下の極限を求めよ。
lim[β→α]{cosβ-cosα}/(x^2-a^2)
PA=a、∠P=θ、∠A=αの△PABを考える。
∠B=βとしてβを変化させる（すなわち、それに伴いPB=xも変化する）。
このとき、以下の極限を求めよ。
lim[β→α]{cosβ-cosα}/(x^2-a^2)
等号を同値関係ではなく
等式の意味で使っている以上
全部ゴミだと思うよ
等式の意味で使っている以上
全部ゴミだと思うよ
p が偽の時、 p → q は真になります。
A を任意の集合とする。
p ∈ φ ⇒ p ∈ A
p ∈ φは偽だから、 p ∈ φ ⇒ p ∈ A は真である。
定義により、 φ は A の部分集合である。
A を任意の集合とする。
p ∈ φ ⇒ p ∈ A
p ∈ φは偽だから、 p ∈ φ ⇒ p ∈ A は真である。
定義により、 φ は A の部分集合である。
p(x) ⇒ q(x)
普通は、 p(x) = True となるような x に対してしか p(x) ⇒ q(x) を考えません。
数学において、
p(x) = True となるような x に対してしか p(x) ⇒ q(x) を考えない
となぜ約束しないのでしょうか？
具体的にこのように約束すると不便な場面を挙げてください。
普通は、 p(x) = True となるような x に対してしか p(x) ⇒ q(x) を考えません。
数学において、
p(x) = True となるような x に対してしか p(x) ⇒ q(x) を考えない
となぜ約束しないのでしょうか？
具体的にこのように約束すると不便な場面を挙げてください。
⇒
を二項演算と考えるとすると、確かに以下の4通りの引数に対して戻り値が定義されていないと困ります。、
True ⇒ True
True ⇒ False
False ⇒ True
False ⇒ False
を二項演算と考えるとすると、確かに以下の4通りの引数に対して戻り値が定義されていないと困ります。、
True ⇒ True
True ⇒ False
False ⇒ True
False ⇒ False
そして、
False ⇒ True
False ⇒ False
の値を定義しなければならないというのならば、その値を真と定義するのが妥当である
ということに同意するのに吝かではありません。
False ⇒ True
False ⇒ False
の値を定義しなければならないというのならば、その値を真と定義するのが妥当である
ということに同意するのに吝かではありません。
実際に数学の本を読んでいても、
p が偽の時、 p → q は真
という約束が便利であると思うことは少ないと思います。
p が偽の時、 p → q は真
という約束が便利であると思うことは少ないと思います。
具体的に、ある数学的議論の中で、
p(x) = True となるような x に対してしか p(x) ⇒ q(x) を考えない
場合と、
True ⇒ True == True
True ⇒ False == False
False ⇒ True == True
False ⇒ False == True
と約束する場合に、
それぞれ、議論がどのようになるのか、例を挙げて示してください。
p(x) = True となるような x に対してしか p(x) ⇒ q(x) を考えない
場合と、
True ⇒ True == True
True ⇒ False == False
False ⇒ True == True
False ⇒ False == True
と約束する場合に、
それぞれ、議論がどのようになるのか、例を挙げて示してください。
True ⇒ True == True
True ⇒ False == False
False ⇒ True == True
False ⇒ False == True
と約束することに関する説明として、判で押したように「便利である」とだけ書くのはいかがなものでしょうか？
うまく説明できないから逃げているとしか思えません。
True ⇒ False == False
False ⇒ True == True
False ⇒ False == True
と約束することに関する説明として、判で押したように「便利である」とだけ書くのはいかがなものでしょうか？
うまく説明できないから逃げているとしか思えません。
命題の真偽について疑問があるのなら
成田正雄『初等代数学』共立出版 1966
にすべて書いてある
公理化し得る定理（除法の定理）や
群やイデアルの定義など証明困難なものに対して
偽の命題を仮定して真の命題を導出している
成田正雄『初等代数学』共立出版 1966
にすべて書いてある
公理化し得る定理（除法の定理）や
群やイデアルの定義など証明困難なものに対して
偽の命題を仮定して真の命題を導出している
定義を証明するというのは異端のように思われがちだが
公理化する前の定義の証明は必要だという立場もある
公理化する前の定義の証明は必要だという立場もある
>>105 で o(δ^2) と 書いたとこは o(δ) に訂正する
lim{δ→ 0} o(δ) / δ → 0 となるような微小量 (ランダウ記法)
lim{δ→ 0} o(δ) / δ → 0 となるような微小量 (ランダウ記法)
>96
再掲
下記のような式は微積分のどういう分野で出てくるのですか？
∫logyf(xy)dy=G(y,x)
再掲
下記のような式は微積分のどういう分野で出てくるのですか？
∫logyf(xy)dy=G(y,x)
質問です。210/ 5.5を計算したらx＝38と10/55 になりました。これはどう計算するんでしょうか？僕がやったら38と2/11になってしまいます。
>>141
少し解決しました。2100/55で計算したらそうなります。なぜ、420/11で約分できるのにしないんでしょうか？
少し解決しました。2100/55で計算したらそうなります。なぜ、420/11で約分できるのにしないんでしょうか？
ぼくがかんがえたさいきょおのときかたを書いてみれば？
m,nを自然数とする。
a[m,n] = log_2[6] - (√m + 1/√(n+1))
を最小にするm,nの組を求めよ。
a[m,n] = log_2[6] - (√m + 1/√(n+1))
を最小にするm,nの組を求めよ。
>>145
log(6)/log(2) = 2.5849625
{log(6)/log(2)}^2 = 6.68203113
より
m ≦ 6
a[4,2] = 0.0076122315315
a[5,7] = -0.0593537672425
a[5,8] = 0.0155611898880
a[6,53] = -0.0006100055500
a[6,54] = 0.00063278544533
(m,n) = (6,53) のとき最小。
log(6)/log(2) = 2.5849625
{log(6)/log(2)}^2 = 6.68203113
より
m ≦ 6
a[4,2] = 0.0076122315315
a[5,7] = -0.0593537672425
a[5,8] = 0.0155611898880
a[6,53] = -0.0006100055500
a[6,54] = 0.00063278544533
(m,n) = (6,53) のとき最小。
>>145
a[m,n] = log_2[6] - (√m + 1/√(n+1))
をわかりやすくきじゅづしてくさい。
a[m,n] = log_2[6] - (m + 1/√(n+1))^(1/2)
a[m,n] = log_2[6] - (m^1/2 + 1/√(n+1))
or
....
a[m,n] = log_2[6] - (√m + 1/√(n+1))
をわかりやすくきじゅづしてくさい。
a[m,n] = log_2[6] - (m + 1/√(n+1))^(1/2)
a[m,n] = log_2[6] - (m^1/2 + 1/√(n+1))
or
....
F(n,s) := Σ{k=0, n} C{n,k} * (-1)^k * (n-2*k)^s
とします。
s=0, 1, ..., n-1 の時、 F(n,s) = 0
となる事を示してください。
s=0 だと (1-1)^n = 0 、n,s の偶奇が正反対の場合も簡単ですが、
n,s が偶偶 または奇奇 のパターンは、どうしたらいいのか分かりません。
例えば
F(2019, s) = 0 (s=0,1,2,..., 2019 )、F(2019, 2019) = {6407桁の数} 、F(2019, 2020)=0
となります。
とします。
s=0, 1, ..., n-1 の時、 F(n,s) = 0
となる事を示してください。
s=0 だと (1-1)^n = 0 、n,s の偶奇が正反対の場合も簡単ですが、
n,s が偶偶 または奇奇 のパターンは、どうしたらいいのか分かりません。
例えば
F(2019, s) = 0 (s=0,1,2,..., 2019 )、F(2019, 2019) = {6407桁の数} 、F(2019, 2020)=0
となります。
(補足説明)
∫ {x=-∞, +∞} dx (sin(x) / x)^n = lim{ε→0} ∫ {z=-∞, +∞} dz sin(z)^n / (z^n + iε^n) = ...
の計算途中に、 F(n,s) / ε^{n-s} に比例する項が現れます。
この積分の ε→0 収束が F(n,s) = 0 (s=0, 1, ..., n-1) を保証しているはずですが
もう少し直接的な証明を知りたいです。
∫ {x=-∞, +∞} dx (sin(x) / x)^n = lim{ε→0} ∫ {z=-∞, +∞} dz sin(z)^n / (z^n + iε^n) = ...
の計算途中に、 F(n,s) / ε^{n-s} に比例する項が現れます。
この積分の ε→0 収束が F(n,s) = 0 (s=0, 1, ..., n-1) を保証しているはずですが
もう少し直接的な証明を知りたいです。
>>151 自己解決しました
F(n,s) := Σ{k=0, n} C{n,k} * (-1)^k * (n-2*k)^s (s=0,1,...,n-1)
・k についての多項式: (n-2k)^s の次数は n-1 以下である
・Σ{k=0, n} C{n,k} * (-1)^k * k^t (t = 0,1..., n-1)
= Σ{k=0, n} C{n,k} * (-1)^k * (d/dα)^t e^{kα} (α→0)
=(d/dα)^t Σ{k=0, n} C{n,k} * (- e^{α} )^k (α→0)
=(d/dα)^t (1-e^{α})^n (α→0)
=(d/dα)^t (1-e^{α}).... (1-e^{α}) (α→0)
= 0 (∵ t < n)
よって F(n,s) = 0 (s=0,1,...,n-1) である。
一晩くらい悩んだのに意外と簡単だった。
ついでに F(n,n) の式も求まった。
F(n,n) := Σ{k=0, n} C{n,k} * (-1)^k * (n-2*k)^n
= (-2)^n * Σ{k=0, n} C{n,k} * (-1)^k * k^n
= (-2)^n * (d/dα)^n (1-e^{α}).... (1-e^{α}) (α→0)
= (-2)^n * n! * (-e^{α})...(-e^{α}) (α→0)
= 2^n * n!
F(n,s) := Σ{k=0, n} C{n,k} * (-1)^k * (n-2*k)^s (s=0,1,...,n-1)
・k についての多項式: (n-2k)^s の次数は n-1 以下である
・Σ{k=0, n} C{n,k} * (-1)^k * k^t (t = 0,1..., n-1)
= Σ{k=0, n} C{n,k} * (-1)^k * (d/dα)^t e^{kα} (α→0)
=(d/dα)^t Σ{k=0, n} C{n,k} * (- e^{α} )^k (α→0)
=(d/dα)^t (1-e^{α})^n (α→0)
=(d/dα)^t (1-e^{α}).... (1-e^{α}) (α→0)
= 0 (∵ t < n)
よって F(n,s) = 0 (s=0,1,...,n-1) である。
一晩くらい悩んだのに意外と簡単だった。
ついでに F(n,n) の式も求まった。
F(n,n) := Σ{k=0, n} C{n,k} * (-1)^k * (n-2*k)^n
= (-2)^n * Σ{k=0, n} C{n,k} * (-1)^k * k^n
= (-2)^n * (d/dα)^n (1-e^{α}).... (1-e^{α}) (α→0)
= (-2)^n * n! * (-e^{α})...(-e^{α}) (α→0)
= 2^n * n!
前>>149
△PBCを含む平面の式が、
z=2y+2=2(1+y)
√3/2≦x≦√3の範囲で、z=0平面と△PBCを含む平面とy=-x/√3平面とで囲まれた部分の体積は、
(1/6)(√3-√3/2){-1/2-(-1)}2[1+{-(√3/2)/√3}]
=(1/6)(√3/2)(1/2)
=√3/24――①
0≦x≦√3/2の範囲をどう出すか。
y=-2x/√3をx^2+y^2=1に代入し交点の座標を求めると、
x^2+4x^2/3=1
x^2=7/3
(√21/3,-2√7/3)
√3/2≦x≦√21/3の範囲で、z=0平面と△PBCを含む平面とy^2+y^2=1曲面とで囲まれた部分の体積は、
――②
0≦x≦√21/3の範囲で、z=0平面と△PBCを含む平面とy^2+y^2=1曲面とで囲まれた部分の体積は、
――③
①②③より、
求める体積は、
6(①+②+③)=4√3-2π
rとθで表すにしても、どの体積をどの式で表すかきちんと書くべきだと思う。
△PBCを含む平面の式が、
z=2y+2=2(1+y)
√3/2≦x≦√3の範囲で、z=0平面と△PBCを含む平面とy=-x/√3平面とで囲まれた部分の体積は、
(1/6)(√3-√3/2){-1/2-(-1)}2[1+{-(√3/2)/√3}]
=(1/6)(√3/2)(1/2)
=√3/24――①
0≦x≦√3/2の範囲をどう出すか。
y=-2x/√3をx^2+y^2=1に代入し交点の座標を求めると、
x^2+4x^2/3=1
x^2=7/3
(√21/3,-2√7/3)
√3/2≦x≦√21/3の範囲で、z=0平面と△PBCを含む平面とy^2+y^2=1曲面とで囲まれた部分の体積は、
――②
0≦x≦√21/3の範囲で、z=0平面と△PBCを含む平面とy^2+y^2=1曲面とで囲まれた部分の体積は、
――③
①②③より、
求める体積は、
6(①+②+③)=4√3-2π
rとθで表すにしても、どの体積をどの式で表すかきちんと書くべきだと思う。
log[(x^2)＋2]を0から√2までxで積分してください
>>156
log[(x^2)＋2] = log(x + i√2) + log(x - i√2) より
不定積分: ∫ dx log[(x^2)＋2] = (x + i√2)log(x + i√2) - (x + i√2) + (x - i√2)log(x - i√2) - (x - i√2)
= x log(x^2 + 2) + i√2 log[(x + i√2)/(x - i√2)] - 2x
= x log(x^2 + 2) - 2√2 arctan[ (√2) / x ] - 2x (←導出過程が怪しく思うならコレを微分して確かめるとよい)
あとは数値を入れるだけ
log[(x^2)＋2] = log(x + i√2) + log(x - i√2) より
不定積分: ∫ dx log[(x^2)＋2] = (x + i√2)log(x + i√2) - (x + i√2) + (x - i√2)log(x - i√2) - (x - i√2)
= x log(x^2 + 2) + i√2 log[(x + i√2)/(x - i√2)] - 2x
= x log(x^2 + 2) - 2√2 arctan[ (√2) / x ] - 2x (←導出過程が怪しく思うならコレを微分して確かめるとよい)
あとは数値を入れるだけ
sample
正規化して x^3 -13 * x から円の半径R = 2 * ( (13/3)^2 ) を得る
a を実数解の一つとすると、その虚数i とは異なる軸j のデータは (52 - a^2)^0.5 である
複素数平面とj軸を合わせた立体空間を120°回転させて他の2つの解を得る
つまり他2つの解は (-a +- (52 - 3 * (a^2) )^0.5 )/2 である
これが整数解かつ実数の条件で解くと a= +-1 等を得る(普通は6個解が出る)
a=1 の時他の解は代入して -4, 3 であり
a=-1 の時他の解は代入して 4, -3 である
正規化して x^3 -13 * x から円の半径R = 2 * ( (13/3)^2 ) を得る
a を実数解の一つとすると、その虚数i とは異なる軸j のデータは (52 - a^2)^0.5 である
複素数平面とj軸を合わせた立体空間を120°回転させて他の2つの解を得る
つまり他2つの解は (-a +- (52 - 3 * (a^2) )^0.5 )/2 である
これが整数解かつ実数の条件で解くと a= +-1 等を得る(普通は6個解が出る)
a=1 の時他の解は代入して -4, 3 であり
a=-1 の時他の解は代入して 4, -3 である
コピペみす
kは整数である。3次方程式
x^3 -13x +k = 0
は3つの異なる実数解をもつ。その3つの解とは？
正規化して......
kは整数である。3次方程式
x^3 -13x +k = 0
は3つの異なる実数解をもつ。その3つの解とは？
正規化して......
>>160
似ているが違う
そもそも自分は i j を認識しているが kを認識できてない
そして
ij = k となっているが
自分の見つけた法則ではkに移らない
たとえば j 軸のデータのルートの中が負だと
虚数i で表わせるけど
真ドモアブルの定理を使うと複素数平面(皆が使う 実数と虚数iの座標)
に変換される。断じてkではない
似ているが違う
そもそも自分は i j を認識しているが kを認識できてない
そして
ij = k となっているが
自分の見つけた法則ではkに移らない
たとえば j 軸のデータのルートの中が負だと
虚数i で表わせるけど
真ドモアブルの定理を使うと複素数平面(皆が使う 実数と虚数iの座標)
に変換される。断じてkではない
wiki に三元数 無いね
真発見の正体は三元数と命名していい？
真発見の正体は三元数と命名していい？
三元数はハミルトンが計算が変になるって悩んだやつだな。。
三元数と命名するのやめた
2元数 と 4元数 なに書いてあるのかぜんぜん理解できない
もし命名してたら混乱まねきかねない
2元数 と 4元数 なに書いてあるのかぜんぜん理解できない
もし命名してたら混乱まねきかねない
tを正の実数とする。
曲線C:y=ln(x)
の区間[t,t+1]の部分の長さをL(t)とする。
2点A_t、B_tをA_t(t,ln(t))、B_t(t+1,ln(t+1))と定める。
点A_tでのCの接線の、区間[t,t+1]での長さをA(t)とする。また線分A_tB_tの長さをB(t)とする。
（1）L(t)とA(t)の大小を比較せよ。
（2）lim[t→∞] L(t) = 1 を示せ。
（3）実数p[t],q[t],r[t]を以下の規則で定める。
(a)p[t]はA(t),B(t),L(t)のうち最大でないもの2つの相加平均
(b)q[t]はA(t),B(t),L(t)の相加平均
(c)r[t]はA(t),B(t),L(t)のうち最小でないもの2つの相加平均
このとき、以下の極限を求めよ。
lim[t→∞] {p[t]+r[t]-2}/{q[t]-1}
曲線C:y=ln(x)
の区間[t,t+1]の部分の長さをL(t)とする。
2点A_t、B_tをA_t(t,ln(t))、B_t(t+1,ln(t+1))と定める。
点A_tでのCの接線の、区間[t,t+1]での長さをA(t)とする。また線分A_tB_tの長さをB(t)とする。
（1）L(t)とA(t)の大小を比較せよ。
（2）lim[t→∞] L(t) = 1 を示せ。
（3）実数p[t],q[t],r[t]を以下の規則で定める。
(a)p[t]はA(t),B(t),L(t)のうち最大でないもの2つの相加平均
(b)q[t]はA(t),B(t),L(t)の相加平均
(c)r[t]はA(t),B(t),L(t)のうち最小でないもの2つの相加平均
このとき、以下の極限を求めよ。
lim[t→∞] {p[t]+r[t]-2}/{q[t]-1}
>>151
s次多項式は
1, x, x(x-1), x(x-1)(x-2), ････, x(x-1)････(x-s+1)
の形の和で表わせる。
そこで >>153 を少し変えて
Σ{k=0,n} (-1)^k ･ C{n,k} ･ k(k-1)････(k-s+1)
= Σ{k=0,n} (-1)^k･C{n,k}･{(∂/∂β)^s β^k} (β→1)
= (∂/∂β)^s {Σ{k=0,n} (-1)^k･C{n,k}･β^k} (β→1)
= (∂/∂β)^s {(1-β)^n} (β→1)
= (-1)^s {n!/(n-s)!} {(1-β)^(n-s)} (β→1)
= 0 (s=0,1,････,n-1)
= (-1)^n ･ n! (s=n)
あるいは直接
Σ{k=0,n} (-1)^k ･ C{n,k} ･ k(k-1)････(k-s+1)
= Σ{k=s,n} (-1)^k ･ {n!/(n-k)!･(k-s)!}
= (-1)^s {n!/(n-s)!} Σ{L=0,n-s} (-1)^L C{n-s,L}
= (-1)^s {n!/(n-s)!} (1-1)^(n-s)
= 0 (s=0,1,････n-1)
= (-1)^n ･ n! (s=n)
s次多項式は
1, x, x(x-1), x(x-1)(x-2), ････, x(x-1)････(x-s+1)
の形の和で表わせる。
そこで >>153 を少し変えて
Σ{k=0,n} (-1)^k ･ C{n,k} ･ k(k-1)････(k-s+1)
= Σ{k=0,n} (-1)^k･C{n,k}･{(∂/∂β)^s β^k} (β→1)
= (∂/∂β)^s {Σ{k=0,n} (-1)^k･C{n,k}･β^k} (β→1)
= (∂/∂β)^s {(1-β)^n} (β→1)
= (-1)^s {n!/(n-s)!} {(1-β)^(n-s)} (β→1)
= 0 (s=0,1,････,n-1)
= (-1)^n ･ n! (s=n)
あるいは直接
Σ{k=0,n} (-1)^k ･ C{n,k} ･ k(k-1)････(k-s+1)
= Σ{k=s,n} (-1)^k ･ {n!/(n-k)!･(k-s)!}
= (-1)^s {n!/(n-s)!} Σ{L=0,n-s} (-1)^L C{n-s,L}
= (-1)^s {n!/(n-s)!} (1-1)^(n-s)
= 0 (s=0,1,････n-1)
= (-1)^n ･ n! (s=n)
>>156
部分積分で
∫ log(xx+2) dx = x･log(xx+2) - ∫ 2xx/(xx+2) dx
= x･log(xx+2) + ∫{4/(xx+2) -2} dx
= x･log(xx+2) + (2√2)∫1/(tt+1) dt -2x
= x･log(xx+2) + (2√2)arctan(t) -2x
= x･log(xx+2) + (2√2)arctan(x/√2) -2x,
0→√2 で積分すると
(2√2){log(2) + π/4 -1} = 1.35353063127
部分積分で
∫ log(xx+2) dx = x･log(xx+2) - ∫ 2xx/(xx+2) dx
= x･log(xx+2) + ∫{4/(xx+2) -2} dx
= x･log(xx+2) + (2√2)∫1/(tt+1) dt -2x
= x･log(xx+2) + (2√2)arctan(t) -2x
= x･log(xx+2) + (2√2)arctan(x/√2) -2x,
0→√2 で積分すると
(2√2){log(2) + π/4 -1} = 1.35353063127
1から99までの整数Nで、|sinN|を最小にするものを求めよ。
必要があれば以下を用いて良い。
π=3.1415926535...
π=[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, ...]
必要があれば以下を用いて良い。
π=3.1415926535...
π=[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, ...]
むしろ
自然数 n にたいして 実数列a[n]を a[n]=Inf｛sin(i)| 1≦i≦n｝ で定める。
lim｛n →∞｝a[n] の値を知りたい
自然数 n にたいして 実数列a[n]を a[n]=Inf｛sin(i)| 1≦i≦n｝ で定める。
lim｛n →∞｝a[n] の値を知りたい
limit[a[n]] = -1
sin[22]= 0.00885131
{Pi+2m Pi,{m,1,15}}
{9.42478, 15.708, 21.9911, 28.2743, 34.5575, 40.8407, 47.1239, \
53.4071, 59.6903, 65.9734, 72.2566, 78.5398, 84.823, 91.1062, 97.3894}
21.9911 --> 22
{9.42478, 15.708, 21.9911, 28.2743, 34.5575, 40.8407, 47.1239, \
53.4071, 59.6903, 65.9734, 72.2566, 78.5398, 84.823, 91.1062, 97.3894}
21.9911 --> 22
>>178
1/(2π) が無理数なので 複素平面上に z=e^{ik}=e^{i2π* (k/(2π))} k=1,2,3,.... をプロットすると 単位円を稠密に覆い尽くす。(クロネッカーの稠密定理より明らか)
特に z= -i の任意のε近傍にいくらでも散らばっている。
つまり ∀ε ∃k |sin(k) - (-1)| = | Im(z - (-i)) | ≦ | z - (-i) | < ε
よって lim｛n →∞｝a[n] = -1
1/(2π) が無理数なので 複素平面上に z=e^{ik}=e^{i2π* (k/(2π))} k=1,2,3,.... をプロットすると 単位円を稠密に覆い尽くす。(クロネッカーの稠密定理より明らか)
特に z= -i の任意のε近傍にいくらでも散らばっている。
つまり ∀ε ∃k |sin(k) - (-1)| = | Im(z - (-i)) | ≦ | z - (-i) | < ε
よって lim｛n →∞｝a[n] = -1
Integrate[Log[x^2] + 2, {x, 0, Sqrt[2]}]
==Sqrt[2] Log[2]
=0.980258
==Sqrt[2] Log[2]
=0.980258
>>177
sin(11) = -0.999990206550703
sin(55) = -0.999755173358620
sin(99) = -0.999206834186354
のどれか。
sin(11) = -0.999990206550703
sin(55) = -0.999755173358620
sin(99) = -0.999206834186354
のどれか。
>>178
f(i) = i - 2π[i/2π]
とおくと
0 ≦ f(i) < 2π
f(0), f(1), f(2), ････, f(m) の(m+1)個の中の或る i≠j について
0 < |f(i) - f(j)| < 2π/m,
n を |i-j| ずつ増加したときの f(n) の変化は 2π/m より小さい。
任意の ε>0 をとって m = [π/√(2ε)] + 1 とおく。
|f(i) - f(j)| < 2√(2ε),
n を |i-j| ずつ増加したときの f(n) の変化は 2√(2ε) より小さい。
ある f(n) は区間 [ -(π/2)-√(2ε), -(π/2)+√(2ε)] の中に入る。
sin(n) = sin(f(n)) < sin(-(π/2)±√(2ε)) = -1 + 2{sin√(ε/2)}^2 < -1 + ε,
f(i) = i - 2π[i/2π]
とおくと
0 ≦ f(i) < 2π
f(0), f(1), f(2), ････, f(m) の(m+1)個の中の或る i≠j について
0 < |f(i) - f(j)| < 2π/m,
n を |i-j| ずつ増加したときの f(n) の変化は 2π/m より小さい。
任意の ε>0 をとって m = [π/√(2ε)] + 1 とおく。
|f(i) - f(j)| < 2√(2ε),
n を |i-j| ずつ増加したときの f(n) の変化は 2√(2ε) より小さい。
ある f(n) は区間 [ -(π/2)-√(2ε), -(π/2)+√(2ε)] の中に入る。
sin(n) = sin(f(n)) < sin(-(π/2)±√(2ε)) = -1 + 2{sin√(ε/2)}^2 < -1 + ε,
tを実数の定数とする。
-1≤x≤1において、以下の2つの関数の値域が一致するという。
f(x)=|ax^2+tx+c|
g(x)=|cx^2+tx+a|
このとき、ac≠0である実数a,cが満たすべき関係式を求めよ。
-1≤x≤1において、以下の2つの関数の値域が一致するという。
f(x)=|ax^2+tx+c|
g(x)=|cx^2+tx+a|
このとき、ac≠0である実数a,cが満たすべき関係式を求めよ。
前層 F の層化とは層 [F] と準同型 f: F→[F] であって、次の普遍性を満たすものです:
任意の層 G と任意の準同型 g: F→G に対し、準同型 h: [F]→G が一意的に存在して g = hf となる
層化が存在するとすれば [F] は同型を除いて一意的です。では、f は一意的でしょうか？
任意の層 G と任意の準同型 g: F→G に対し、準同型 h: [F]→G が一意的に存在して g = hf となる
層化が存在するとすれば [F] は同型を除いて一意的です。では、f は一意的でしょうか？
>>196
G=[F]とするとgとfを変換してくれるhが存在するわけだから
同型を除いて一意じゃないの？
G=[F]とするとgとfを変換してくれるhが存在するわけだから
同型を除いて一意じゃないの？
見た目は2次関数の問題なのに難問。ありませんか？
理三余裕な人でもなきゃ二次関数絡む大学受験の難問なんていっぱいあるだろ
理一合格者平均程度でも25分で完答厳しいやつな
理一合格者平均程度でも25分で完答厳しいやつな
あ、ガイジにレスしてたわ
すまんな
すまんな
コーシーリーマンの方程式で∂u/∂x=∂v/∂y
∂v/∂x=-∂u/∂yがある開集合Dで成り立ってるとしてΔu=Δv=0 in Dを示すときに例えば∂u/∂x=∂v/∂y-➀とするの両辺をxで偏微分したときも➀は成り立つのですか？
(u(x,y)とv(x,y)はDにおいてC2級、Δはラプラシアンです)
基本的なことですみません
∂v/∂x=-∂u/∂yがある開集合Dで成り立ってるとしてΔu=Δv=0 in Dを示すときに例えば∂u/∂x=∂v/∂y-➀とするの両辺をxで偏微分したときも➀は成り立つのですか？
(u(x,y)とv(x,y)はDにおいてC2級、Δはラプラシアンです)
基本的なことですみません
「➀とする」だったら➀が成り立つに決まっとるだろ
>>201
z = x + iy , f(z) := F(x,y) = u(x,y) + i v(x,y)
コーシーリーマン等式により f(z) は Dで正則である。
∂^2u/∂x^2 = ∂^2v/∂x∂y = ∂^2v/∂y∂x = -∂^2u/∂y^2 ∴ Δu = 0
∂^2v/∂x^2 = -∂^2u/∂x∂y = -∂^2u/∂y∂x = -∂^2v/∂y^2 ∴ Δv = 0
g(z) := U + iV = ∂u/∂x + i ∂v/∂x ( = ∂v/∂y - i ∂u/∂y ) とすると、
∂U/∂x = ∂^2u/∂x^2 = -∂^2u/∂y^2 = ∂V/∂y
∂U/∂y = ∂^2v/∂y^2 = -∂^2v/∂x^2 = -∂V/∂y つまりコーシーリーマン等式が成立する。
よって g(z) もまた正則であり、ΔU = ΔV = 0 である。 ( 求めていたのはこれで良い？)
さて、δz = δr.e^{iθ} = δr.cosθ + i δr.sinθ = δx + iδy と置くと
δf/δz := { (f(z+δz) - f(z))/ δr }. e^{-iθ}
= { (∂u/∂x+i∂v/∂x).cosθ + (∂u/∂y+i∂v/∂y).sinθ }. e^{-iθ} + o(δr)
= { (∂u/∂x+i∂v/∂x).cosθ + (-∂v/∂x+i∂u/∂x).sinθ }. e^{-iθ} + o(δr)
= { (∂u/∂x + i∂v/∂x).(cosθ + i.sinθ) }. e^{-iθ} + o(δr)
= ∂u/∂x + i∂v/∂x + o(δr) = g(z) + o(δr)
よって g(z) = f’(z) である。
z = x + iy , f(z) := F(x,y) = u(x,y) + i v(x,y)
コーシーリーマン等式により f(z) は Dで正則である。
∂^2u/∂x^2 = ∂^2v/∂x∂y = ∂^2v/∂y∂x = -∂^2u/∂y^2 ∴ Δu = 0
∂^2v/∂x^2 = -∂^2u/∂x∂y = -∂^2u/∂y∂x = -∂^2v/∂y^2 ∴ Δv = 0
g(z) := U + iV = ∂u/∂x + i ∂v/∂x ( = ∂v/∂y - i ∂u/∂y ) とすると、
∂U/∂x = ∂^2u/∂x^2 = -∂^2u/∂y^2 = ∂V/∂y
∂U/∂y = ∂^2v/∂y^2 = -∂^2v/∂x^2 = -∂V/∂y つまりコーシーリーマン等式が成立する。
よって g(z) もまた正則であり、ΔU = ΔV = 0 である。 ( 求めていたのはこれで良い？)
さて、δz = δr.e^{iθ} = δr.cosθ + i δr.sinθ = δx + iδy と置くと
δf/δz := { (f(z+δz) - f(z))/ δr }. e^{-iθ}
= { (∂u/∂x+i∂v/∂x).cosθ + (∂u/∂y+i∂v/∂y).sinθ }. e^{-iθ} + o(δr)
= { (∂u/∂x+i∂v/∂x).cosθ + (-∂v/∂x+i∂u/∂x).sinθ }. e^{-iθ} + o(δr)
= { (∂u/∂x + i∂v/∂x).(cosθ + i.sinθ) }. e^{-iθ} + o(δr)
= ∂u/∂x + i∂v/∂x + o(δr) = g(z) + o(δr)
よって g(z) = f’(z) である。
真面目に答えて損した気分...
高校生からやりなおし
前>>168復習。
四面体PABC=2√3
そのうち円柱内部
x^2+y^2≦1
の1/6は、
∫[0→1][0→π/3]2(1-rcosθ)rdrdθ
=∫[0→1][0→π/3]2rdrθ-∫[0→1][0→π/3]2r^2cosθdrdθ
=1･(π/3)-(2/3)sin(π/3)
=π/3-√3/3
=(π-√3)/3
求める体積=2√3-6{(π-√3)/3}
=4√3-2π
四面体PABC=2√3
そのうち円柱内部
x^2+y^2≦1
の1/6は、
∫[0→1][0→π/3]2(1-rcosθ)rdrdθ
=∫[0→1][0→π/3]2rdrθ-∫[0→1][0→π/3]2r^2cosθdrdθ
=1･(π/3)-(2/3)sin(π/3)
=π/3-√3/3
=(π-√3)/3
求める体積=2√3-6{(π-√3)/3}
=4√3-2π
なに？x=yのときに写像fで写してf(x)=f(y)が成り立つのかってこと？？？
明示はしてないが基本的に中への写像が成り立つという前提で議論をしている
しかしこのポンコツ等式で証明した気になっても困るわ
何を前提にしているのかすべて書き出さなきゃ証明の価値がない
なぜか？
公理体系を無視した証明はゴミだからだよ
しかしこのポンコツ等式で証明した気になっても困るわ
何を前提にしているのかすべて書き出さなきゃ証明の価値がない
なぜか？
公理体系を無視した証明はゴミだからだよ
>>203
2,3段落が何をしているのかわからないのですが、∂u/∂x=∂v/∂yならば
∂^2u/∂x^2=∂^2v/∂y∂xになるということでいいですか？
2,3段落が何をしているのかわからないのですが、∂u/∂x=∂v/∂yならば
∂^2u/∂x^2=∂^2v/∂y∂xになるということでいいですか？
俺がいいと言ったらいいのかよ
>>204
方程式とあなたは言ってますが、なにに関するどのような方程式ですか？
それがはっきりすればわかるはずですね
方程式とあなたは言ってますが、なにに関するどのような方程式ですか？
それがはっきりすればわかるはずですね
わからない問題ってわけでもないんですがお聞きします。
Σ1/n^2 = π^2/6
を証明するのに
1) α(n,k)=sin^2(kπ/2n) (k:1～n)を解とする整式を作る。
2) 解と係数の関係からs(n) = Σ[k]1/α(n,k)を求める。
3) lim s(n)/n^2 から求める値を求める。
みたいな証明があるんですが、これ大元はロシア人の論文で比較的新しいものが出典らしいとどこかのスレで書いてありました。
しかしどのスレで見かけたのか忘れてしまいました。
コレの元論文なにかわかりますか？
Σ1/n^2 = π^2/6
を証明するのに
1) α(n,k)=sin^2(kπ/2n) (k:1～n)を解とする整式を作る。
2) 解と係数の関係からs(n) = Σ[k]1/α(n,k)を求める。
3) lim s(n)/n^2 から求める値を求める。
みたいな証明があるんですが、これ大元はロシア人の論文で比較的新しいものが出典らしいとどこかのスレで書いてありました。
しかしどのスレで見かけたのか忘れてしまいました。
コレの元論文なにかわかりますか？
単純なミスが多いんだけどどうしたらいい？二桁の掛け算でもうっかりミスが多い。
例えば6かける1普通に1にしてしまったりする。集中ないのかね？
うっかりミスどころか記憶に定着してないのかと不安になる
例えば6かける1普通に1にしてしまったりする。集中ないのかね？
うっかりミスどころか記憶に定着してないのかと不安になる
互いに素な自然数a,b,cは等式
a+b=c
を満たす。
aの全ての素因数を要素とする集合をS_aとし、b,cについても同様にS_b,S_cを作る。
和集合S_a∪S_b∪S_cの全ての要素の積をf(a,b;c)とするとき、以下の等式を成り立たせる組(a,b,c)は有限個しか存在しないことを示せ。
c>f(a,b;c)^2
a+b=c
を満たす。
aの全ての素因数を要素とする集合をS_aとし、b,cについても同様にS_b,S_cを作る。
和集合S_a∪S_b∪S_cの全ての要素の積をf(a,b;c)とするとき、以下の等式を成り立たせる組(a,b,c)は有限個しか存在しないことを示せ。
c>f(a,b;c)^2
有限個なら通常のabc予想が正しければ正しい。
２乗にしているなら存在していないっていう強予想
２乗にしているなら存在していないっていう強予想
lim[n=1→∞](-1)^n/n^2
lim[n=1→∞](-1)^n/n^3
lim[n=0→∞](-1)^n/(n!)^2
を高校数学の範囲で求めたいのですが、可能でしょうか？
(-1)^n/nの無限和はIn=∫[1,e](logx)^n/xdxを設定して、漸化式立ててとき進めたらlog2って求められたのですが、n^2,n^3の時がどうしても分かりません…
lim[n=1→∞](-1)^n/n^3
lim[n=0→∞](-1)^n/(n!)^2
を高校数学の範囲で求めたいのですが、可能でしょうか？
(-1)^n/nの無限和はIn=∫[1,e](logx)^n/xdxを設定して、漸化式立ててとき進めたらlog2って求められたのですが、n^2,n^3の時がどうしても分かりません…
あと、(-k)^n/n! (k>0)の無限和は、
In=∫[0,k]x^n e^xdxと設定して漸化式作って、いろいろしたら(1-e^k)/e^kって求められたのですが、(n!)^2の時がどうしてもわからないです
In=∫[0,k]x^n e^xdxと設定して漸化式作って、いろいろしたら(1-e^k)/e^kって求められたのですが、(n!)^2の時がどうしてもわからないです
>>215
マジレスしとこう
単純計算は、2回計算して計算した結果が合うことを確かめる。
何度も計算ミスしているうちに計算ミスをする場所が大体わかってくるから
そこに関してだけでも2回計算する
小学生用のドリルで二けた×二けたの問題でも毎日20問位やっておく
マジレスしとこう
単純計算は、2回計算して計算した結果が合うことを確かめる。
何度も計算ミスしているうちに計算ミスをする場所が大体わかってくるから
そこに関してだけでも2回計算する
小学生用のドリルで二けた×二けたの問題でも毎日20問位やっておく
>>215
2回解く(倍かかるが包括的なエラー検出)
概算(大まかなエラー検出)
mod10(間違いは1の位に集中しているならこれはなかなか)
...(速さと精度のトレードオフの何か)
2回解く(倍かかるが包括的なエラー検出)
概算(大まかなエラー検出)
mod10(間違いは1の位に集中しているならこれはなかなか)
...(速さと精度のトレードオフの何か)
>>218
Σ[n=1,∞](-1)^n/n^2 =-(1/2)ζ(2)= -π^2/12 : 高校数学で可能、検索キーワード「バーゼル問題」
Σ[n=1,∞](-1)^n/n^3 = -(3/4)ζ(3) : リーマンゼータ関数ζ(s)の定義を知っていれば高校数学で可能
Σ[n=0,∞](-1)^n/(n!)^2 = J0(2) : ベッセル関数Jn(x)の定義を知っていれば高校数学で可能
Σ[n=1,∞](-1)^n/n^2 =-(1/2)ζ(2)= -π^2/12 : 高校数学で可能、検索キーワード「バーゼル問題」
Σ[n=1,∞](-1)^n/n^3 = -(3/4)ζ(3) : リーマンゼータ関数ζ(s)の定義を知っていれば高校数学で可能
Σ[n=0,∞](-1)^n/(n!)^2 = J0(2) : ベッセル関数Jn(x)の定義を知っていれば高校数学で可能
「高校数学で可能」 の定義ガバガバすぎでは...
互いに素な自然数a,b,cは等式
a+b=c
を満たす。
aの全ての素因数を要素とする集合をS_aとし、b,cについても同様にS_b,S_cを作る。
和集合S_a∪S_b∪S_cの全ての要素の積をf(a,b;c)とする。
このとき、以下の等式を成り立たせる組(a,b,c)は存在しないか、または有限個しか存在しないことを示せ。
c>f(a,b;c)^2
a+b=c
を満たす。
aの全ての素因数を要素とする集合をS_aとし、b,cについても同様にS_b,S_cを作る。
和集合S_a∪S_b∪S_cの全ての要素の積をf(a,b;c)とする。
このとき、以下の等式を成り立たせる組(a,b,c)は存在しないか、または有限個しか存在しないことを示せ。
c>f(a,b;c)^2
>>227
反例
c=2^N, 3<=Nとおく
a, b のどちらかが合成数ならば
与式はつねに成り立つ
反例
c=2^N, 3<=Nとおく
a, b のどちらかが合成数ならば
与式はつねに成り立つ
一辺の長さが√2の正方形ABCDの周及び内部の領域をSとする。
PA+PB+PC+PD=1+2√2となるようにS上を動く点P全体からなる閉曲線で囲まれる部分の面積を求めよ。
PA+PB+PC+PD=1+2√2となるようにS上を動く点P全体からなる閉曲線で囲まれる部分の面積を求めよ。
原点から縦軸に光を発射し、点(0,1)で反射して横軸と交わる点をXとする
反射角がランダム、つまり一様分布U(-π/2,π/2)に従うとき、Xの密度関数を求めよ
答えが1/(π(1+x^2))となるのですが途中式が分からないのでお願いします
反射角がランダム、つまり一様分布U(-π/2,π/2)に従うとき、Xの密度関数を求めよ
答えが1/(π(1+x^2))となるのですが途中式が分からないのでお願いします
PA+PB+PC+PD≧4
任意の正の実数aに対し、
∫ [0 to a] 1/{(1+x^2)exp(x^2)} dx < 4/5
が成り立つことを示せ。
必要ならばx=tan(ln(t))と置換せよ。
∫ [0 to a] 1/{(1+x^2)exp(x^2)} dx < 4/5
が成り立つことを示せ。
必要ならばx=tan(ln(t))と置換せよ。
f, g をθ,x 其々についての密度関数とすると
f(θ) dθ = g(x) dx が成り立っています。
配置条件より x = tanθ
dθ/dx = 1/{dx/dθ} = (cosθ)^2 = 1/( 1 + xx )
f(θ) は -π/2 ≦ θ ≦ +π/2 一定なので f(θ) = 1/π
よって g(x) = f(θ) dθ/dx = 1/ {π.( 1 + xx )}
f(θ) dθ = g(x) dx が成り立っています。
配置条件より x = tanθ
dθ/dx = 1/{dx/dθ} = (cosθ)^2 = 1/( 1 + xx )
f(θ) は -π/2 ≦ θ ≦ +π/2 一定なので f(θ) = 1/π
よって g(x) = f(θ) dθ/dx = 1/ {π.( 1 + xx )}
>>234
補足説明
> f(θ) dθ = g(x) dx が成り立っています
つまり ∫[θ=a,b] f(θ) dθ = ∫[x=θ(a),θ(b)] g(x) dx という事で、
これが言えるのは x = tanθ [θ:-π/2, +π/2] のような x と θ が一対関係の場合のみである事に注意する必要があります。
一対一でない時は多少の書き換えが必要です。
補足説明
> f(θ) dθ = g(x) dx が成り立っています
つまり ∫[θ=a,b] f(θ) dθ = ∫[x=θ(a),θ(b)] g(x) dx という事で、
これが言えるのは x = tanθ [θ:-π/2, +π/2] のような x と θ が一対関係の場合のみである事に注意する必要があります。
一対一でない時は多少の書き換えが必要です。
訂正: ∫[θ=a,b] f(θ) dθ = ∫[x=x(a),x(b)] g(x) dx
x,y は整数
|a|はaの絶対値
このとき
|x|+2|y|==100 をみたす{x,y}は何個あるか？
また
|x|+2|y|== k のときは如何？ （ｋは自然数）
おながいします。
|a|はaの絶対値
このとき
|x|+2|y|==100 をみたす{x,y}は何個あるか？
また
|x|+2|y|== k のときは如何？ （ｋは自然数）
おながいします。
なんで名無しにｗｗｗつけてんのじゃねーんだよ
n>=6 ,x,y,z は自然数のとき
x^n+y^n == z^n
の解は\存在しないことを証明せよ
x^n+y^n == z^n
の解は\存在しないことを証明せよ
＞＞２１５
人は間違うものです。 程度問題です。
自分で欠点のところが具体的にわかればそこをなおせばよい。
漠然としていたら、 必ず間違えると覚悟して
丁寧に問題を溶ける環境をつくる。
無理なときは、２回計算するか、検算する。
別の解釈で問題をとき合致している腕化を見る。
独自の判定法を自分で在庫にしておく
などなど。。。
人間はまちがえるものです。。。。。
人は間違うものです。 程度問題です。
自分で欠点のところが具体的にわかればそこをなおせばよい。
漠然としていたら、 必ず間違えると覚悟して
丁寧に問題を溶ける環境をつくる。
無理なときは、２回計算するか、検算する。
別の解釈で問題をとき合致している腕化を見る。
独自の判定法を自分で在庫にしておく
などなど。。。
人間はまちがえるものです。。。。。
自然数nを10進法表記したときの先頭の数字をa[n]、末尾の数字をb[n]、c[n]=10a[n]+b[n]とする。
例えばn=25597のとき、a[n]=2、b[n]=7、c[n]=27 である。
なおnが1桁のときは、a[n]=0、b[n]=nとする。
いま、数列K[j]を以下で定義する。
K[1]=N
K[j+1]=P[j]K[j]+1
ここに、P[j]はj番目の素数を表す。
（1）どのような自然数Nに対しても、C[ K[i] ] = 87となる、ある自然数iが存在することを示せ。
（2）dを1以上99以下のある整数とする。（1）において、C[ K[i] ] = dの場合はどうか。
例えばn=25597のとき、a[n]=2、b[n]=7、c[n]=27 である。
なおnが1桁のときは、a[n]=0、b[n]=nとする。
いま、数列K[j]を以下で定義する。
K[1]=N
K[j+1]=P[j]K[j]+1
ここに、P[j]はj番目の素数を表す。
（1）どのような自然数Nに対しても、C[ K[i] ] = 87となる、ある自然数iが存在することを示せ。
（2）dを1以上99以下のある整数とする。（1）において、C[ K[i] ] = dの場合はどうか。
>>236
解１
exp(xx) > 1+xx より
(与式) < ∫[0,a] 1/(1+xx)^2 dx
= (1/2)a/(1+aa) + (1/2)arctan(a)
< π/4
= 0.7853981634
解２
GM-AM より exp(-xx)/(1+xx) < {1/(1+xx)^2 + exp(-2xx)}/2,
(与式) < (1/4)a/(1+aa) + (1/4)arctan(a) + (1/8)√(2π)erf((√2)a)
< {π + √(2π)}/8
= 0.706027616
なお、真値は (eπ/2)･erfc(1) = 0.67164671
解１
exp(xx) > 1+xx より
(与式) < ∫[0,a] 1/(1+xx)^2 dx
= (1/2)a/(1+aa) + (1/2)arctan(a)
< π/4
= 0.7853981634
解２
GM-AM より exp(-xx)/(1+xx) < {1/(1+xx)^2 + exp(-2xx)}/2,
(与式) < (1/4)a/(1+aa) + (1/4)arctan(a) + (1/8)√(2π)erf((√2)a)
< {π + √(2π)}/8
= 0.706027616
なお、真値は (eπ/2)･erfc(1) = 0.67164671
任意のn個の実数x1,x2,x3,…,xnに対して、
fn(x1)+fn(x2)+…+fn(xn)=nfn(x1+x2+x3+…+xn)
fn(0)=a(a≠0∧a∈R)
を満たす、関数fn(x)は一意に定まりますか？
全ての自然数nに対して一意に定まるか？
↓(定まらない場合)
一意に定まるようなnは求められるか？
一意に定まるため必要なfn(y1),fn(y2),fn(y3),…(y1,y2,…は実数の定数)の最小の個数は求められるのか？
が知りたいです
fn(x1)+fn(x2)+…+fn(xn)=nfn(x1+x2+x3+…+xn)
fn(0)=a(a≠0∧a∈R)
を満たす、関数fn(x)は一意に定まりますか？
全ての自然数nに対して一意に定まるか？
↓(定まらない場合)
一意に定まるようなnは求められるか？
一意に定まるため必要なfn(y1),fn(y2),fn(y3),…(y1,y2,…は実数の定数)の最小の個数は求められるのか？
が知りたいです
投下して気づいたのですがn=1で既に一意に定まらないっすね…すいません
連投すいません
逆にn≧2で一意に定まらない証明とかってのは可能でしょうか？
逆にn≧2で一意に定まらない証明とかってのは可能でしょうか？
俺がスレのレベルを測ったるでー ってノリなんだよね。 何様だよって話。
まあ、それに答える人がいてもいいんだけど、
誰も答えないからってフッ...こんなもんかw みたいに思われても困るんだよね。
いつも同じ人が見てるワケじゃないし、興味持てる問題/持てない問題は人それぞれだし。
まあ、それに答える人がいてもいいんだけど、
誰も答えないからってフッ...こんなもんかw みたいに思われても困るんだよね。
いつも同じ人が見てるワケじゃないし、興味持てる問題/持てない問題は人それぞれだし。
思われても困らんけど？
アホはスルー、反応するやつはアホを増長させるので同類
アホはスルー、反応するやつはアホを増長させるので同類
反応なくてもずっと書いてるきちがいニートなんだから無視しとけばいいだろ
粘着すんなボケキッズ
粘着すんなボケキッズ
でも書いてる奴もさすがに自分がこのスレで賢い方だとは思ってない気はするけどね。
自分はよくこのスレに世話になってた側だからね、それなりに愛着あるわけよ。
無視すべきなんだろうけど「スレのレベルを測ったるでー」系にはイラっとするんだ。
無視すべきなんだろうけど「スレのレベルを測ったるでー」系にはイラっとするんだ。
何いってんだこのガキ
何にせよ、答がわかっている問題を書く行為はスレチじゃないのかい？
スレチであることに異論あるやつはいないだろ
キッズがIDコロッたのか？
キッズがIDコロッたのか？
スレチだし荒らしだけど攻撃しても何も起こらんだろとは思う
命題が真なのか分からないのですが、一番下の行の命題の証明を教えて下さい
解析力学のラグランジュ方程式の導出で必要になった式です
読みにくくてすみませんがよろしくお願いします
解析力学のラグランジュ方程式の導出で必要になった式です
読みにくくてすみませんがよろしくお願いします
失礼します。
低レベルな質問かもしれないですがご容赦ください。
二重積分で、xで積分するということはイメージが湧くのですが、yで積分するというのがイマイチイメージが湧きません。
どんなイメージか教えていただけませんか？
低レベルな質問かもしれないですがご容赦ください。
二重積分で、xで積分するということはイメージが湧くのですが、yで積分するというのがイマイチイメージが湧きません。
どんなイメージか教えていただけませんか？
重積分ってことは2変数関数z=f(x,y)だと思うけど……xもyも同じでしょ
もしかして1変数のイメージのまま、反射的にyをxの関数(従属変数)だと思い込んでたりしない？
もしかして1変数のイメージのまま、反射的にyをxの関数(従属変数)だと思い込んでたりしない？
>>262
なんというか…
xで積分するということはxy平面状で帯？を集めて平面の面積が出るイメージなんですが
そのあとyで積分するとなるともう一度同じように面積を出している感じで考えています。もう既に間違えているような気がしますが…
うまく説明できなくてすみません。
なんというか…
xで積分するということはxy平面状で帯？を集めて平面の面積が出るイメージなんですが
そのあとyで積分するとなるともう一度同じように面積を出している感じで考えています。もう既に間違えているような気がしますが…
うまく説明できなくてすみません。
>>263
https://www.geisya.or.jp/~mwm48961/electro/multi_integral3.htm
適当にググったら出てきました
dxdyで積分するって感じですかね
https://www.geisya.or.jp/~mwm48961/electro/multi_integral3.htm
適当にググったら出てきました
dxdyで積分するって感じですかね
>>265
ありがとうございます。
とんでもない誤解をしていたことがわかりました。
やっとイメージできました。
ありがとうございます。
とんでもない誤解をしていたことがわかりました。
やっとイメージできました。
Σ[k=0,∞]( (λz)^k / k! ) = e^(λz)
これってどうやって導出するのでしょうか
これってどうやって導出するのでしょうか
定義ですね
正の整数nの各位の数の和をs(n)とする。
例えばs(1)=1,s(15)=1+5=6,s(510)=5+1+0=6である。
s(n^5)=nとなるような最大のnを求めよ。
これ解ける方いませんか？
例えばs(1)=1,s(15)=1+5=6,s(510)=5+1+0=6である。
s(n^5)=nとなるような最大のnを求めよ。
これ解ける方いませんか？
f(z) = e^(λz)
より
f '(z) = λ・f(z) ･････ (*)
f(z) のマクローリン展開は |z|<∞ で収束する：
f(z) = Σ[k=0,∞] a_k z^k,
とおくと a_0 = f(0) = 1,
(*) から k･a_k = λa_{k-1}
∴ a_k = λ^k / k!
より
f '(z) = λ・f(z) ･････ (*)
f(z) のマクローリン展開は |z|<∞ で収束する：
f(z) = Σ[k=0,∞] a_k z^k,
とおくと a_0 = f(0) = 1,
(*) から k･a_k = λa_{k-1}
∴ a_k = λ^k / k!
>>271
s(x)≦9(log[10](x)+1)だから
n^5≦9(5log[10]n+1)
からn絞り込んであとは計算機。
s(x)≦9(log[10](x)+1)だから
n^5≦9(5log[10]n+1)
からn絞り込んであとは計算機。
>>263
二次元をそもまま三次元に拡張してxyz空間を考えればいい
z=f(x,y)として、与えられた範囲のxy平面上にわたってf(x,y)を足し合わせて体積めるのが二重積分
二次元をそもまま三次元に拡張してxyz空間を考えればいい
z=f(x,y)として、与えられた範囲のxy平面上にわたってf(x,y)を足し合わせて体積めるのが二重積分
ここの回答者って簡単な問題にはすでに解決済みの質問だとしても回答するんですね
簡単な問題は誰でも答えられるからな
その分そりゃあとから答えつけるようなのも増えるだろう
何もおかしくなくね？
その分そりゃあとから答えつけるようなのも増えるだろう
何もおかしくなくね？
仕事は何してる？
n^5 は 10進表示で {log(n^5)/log(10) + 1} 桁。
1 ≦ n < 9{log(n^5)/log(10) + 1}, >>273
1 ≦ n < 98.7552
n = 1, 28, 35, 36, 46
1 ≦ n < 9{log(n^5)/log(10) + 1}, >>273
1 ≦ n < 98.7552
n = 1, 28, 35, 36, 46
>>264
計算をしたいというと語弊がありそうですが、デカルト座標系から座標系Qへの時間に依存した変換Txが分かっているとき、速度をQにおける座標qとその時間微分の値qドットと時間tで表す関数は右下の式で表されるものに限られるか、というようなことを証明したいです
次元が変というのは具体的にどのあたりでしょうか？
計算をしたいというと語弊がありそうですが、デカルト座標系から座標系Qへの時間に依存した変換Txが分かっているとき、速度をQにおける座標qとその時間微分の値qドットと時間tで表す関数は右下の式で表されるものに限られるか、というようなことを証明したいです
次元が変というのは具体的にどのあたりでしょうか？
>>282
N×(N+1)型行列Tx'(q, t)とN+1次元列ベクトル(qドット, 1)の行列積です
見辛くてすみません
N×(N+1)型行列Tx'(q, t)とN+1次元列ベクトル(qドット, 1)の行列積です
見辛くてすみません
>>284
各x∈R^(N+1)について
Tx(x+h)=Tx(x)+Tx'(x)h+o(|h|) (h→0)
を満たすようなR^(N+1)→M(N, N+1: R)の写像です
各x∈R^(N+1)について
Tx(x+h)=Tx(x)+Tx'(x)h+o(|h|) (h→0)
を満たすようなR^(N+1)→M(N, N+1: R)の写像です
>>279
2行目から3行目の変形がわからないんですが、どうして具体的な数字に持っていけるのですか？
2行目から3行目の変形がわからないんですが、どうして具体的な数字に持っていけるのですか？
Fを標数p＞0の素体とする時
F(x,y)/F(x^p,y^p)の中間体が無数にあることはどのように示せますか？
F(x,y)/F(x^p,y^p)の中間体が無数にあることはどのように示せますか？
>>287
例えばz[k]=x+y^kとおいて相異なるk lをとるときz[l]がF(x^p, y^p, z[k]) に含まれないことを示しておく。
具体的には、もしそうでないとすると整式P(U,V,W)でWについての次数がp未満で
z[l] = P(x^p, y^p, z[k])
となるものがとれるが係数比較で矛盾。
とくにF(x^p, y^p, z[k])の全体は全て相異なる。
とか。
係数比較のくだり精査してないからダメかも。
だったらゴメン。
例えばz[k]=x+y^kとおいて相異なるk lをとるときz[l]がF(x^p, y^p, z[k]) に含まれないことを示しておく。
具体的には、もしそうでないとすると整式P(U,V,W)でWについての次数がp未満で
z[l] = P(x^p, y^p, z[k])
となるものがとれるが係数比較で矛盾。
とくにF(x^p, y^p, z[k])の全体は全て相異なる。
とか。
係数比較のくだり精査してないからダメかも。
だったらゴメン。
>>288
ちょっと修正。
そうでないとすると0でない整式P(U, V, W)とQ(U,V)で
z[l] Q(x^p, y^p) = P(x^p, y^p, z[k])
が存在して以下同文。
ちょっと修正。
そうでないとすると0でない整式P(U, V, W)とQ(U,V)で
z[l] Q(x^p, y^p) = P(x^p, y^p, z[k])
が存在して以下同文。
【至急 超難問】
数理経済、その中でもフランス現代思想の数理表現の問題です。
問「欲動を多様体、構造を構造群で表現した時、商空間が表現するものは、欲動を構造で分類した仮象である」
これを論証せよ。
どなたか分かりますか？
とある私大の経済系の授業で出題され、理解できた学生には大幅加点というシステムなのですが誰も分からず、yahoo知恵袋でも撃沈し、一縷の望みをかけ皆さんを頼らせて頂こうかと…
宜しくお願い致します。
数理経済、その中でもフランス現代思想の数理表現の問題です。
問「欲動を多様体、構造を構造群で表現した時、商空間が表現するものは、欲動を構造で分類した仮象である」
これを論証せよ。
どなたか分かりますか？
とある私大の経済系の授業で出題され、理解できた学生には大幅加点というシステムなのですが誰も分からず、yahoo知恵袋でも撃沈し、一縷の望みをかけ皆さんを頼らせて頂こうかと…
宜しくお願い致します。
割り込みすいません。
40人のクラス全員の誕生日が異なる場合の数は、
365C40
でだめなんですか？
A君の誕生日を確定させる必要はあるんですか？
第一学習社の教科書に疑問を持ちました。
40人のクラス全員の誕生日が異なる場合の数は、
365C40
でだめなんですか？
A君の誕生日を確定させる必要はあるんですか？
第一学習社の教科書に疑問を持ちました。
>>292
迷ったら人数を２人とか３人に絞って考えるといいです。
A, Bの2人で考えると
Aが取りうる日付は 365 通りあり、その其々に対して Bは Aとは異なるつまり 364の選択肢がある。
よって、365*364 ( = 365P2 ) 通り。
これを 365C2 ( = 365P2 / 2! ) で考えるという事は、
例えば {A: 4/1, B: 12/31} と {A: 12/31, B: 4/1 } のパターンを区別しないという事です。
特に記載がなければ、普通は区別すると思います。
迷ったら人数を２人とか３人に絞って考えるといいです。
A, Bの2人で考えると
Aが取りうる日付は 365 通りあり、その其々に対して Bは Aとは異なるつまり 364の選択肢がある。
よって、365*364 ( = 365P2 ) 通り。
これを 365C2 ( = 365P2 / 2! ) で考えるという事は、
例えば {A: 4/1, B: 12/31} と {A: 12/31, B: 4/1 } のパターンを区別しないという事です。
特に記載がなければ、普通は区別すると思います。
10個の玉と３個の箱がある、どの箱にも必ず1個以上の玉が入る、という設定の問題で質問です
玉に区別がなく箱に区別がある場合10個の〇の間に2個の|を入れる場合と同じで9C2＝36通り
玉に区別がなく箱にも区別がない場合(118)(127)(136)(145)(226)(235)(244)(334)で8通り
が答えです
しかし、これでは区別がある場合から区別をなくして3!で割ったもの（＝6通り）と一致しません
なぜでしょうか
玉に区別がなく箱に区別がある場合10個の〇の間に2個の|を入れる場合と同じで9C2＝36通り
玉に区別がなく箱にも区別がない場合(118)(127)(136)(145)(226)(235)(244)(334)で8通り
が答えです
しかし、これでは区別がある場合から区別をなくして3!で割ったもの（＝6通り）と一致しません
なぜでしょうか
118とか334が3!?
同じ箱：異なる箱
{118} : (118) (181) (811)
{127} : (127) (172) (217) (271) (712) (721)
{136} : (136) (163) (316) (361) (613) (631)
{145} : (145) (154) (415) (451) (514) (541)
{226} : (226) (262) (622)
{235} : (235) (253) (325) (352) (523) (532)
{244} : (244) (424) (442)
{334} : (334) (343) (433)
(参考)
http://zakii.la.coocan.jp/enumeration/10_balls_boxes.htm
{118} : (118) (181) (811)
{127} : (127) (172) (217) (271) (712) (721)
{136} : (136) (163) (316) (361) (613) (631)
{145} : (145) (154) (415) (451) (514) (541)
{226} : (226) (262) (622)
{235} : (235) (253) (325) (352) (523) (532)
{244} : (244) (424) (442)
{334} : (334) (343) (433)
(参考)
http://zakii.la.coocan.jp/enumeration/10_balls_boxes.htm
円Cに内接する四角形PQRSは、PQ=a、QR=b、RS=c、SP=dであり、対角線PRの長さはe、QSの長さはf である。
Cの半径をa,b,c,d,e,fのうち必要なものを用いて表せ。
Cの半径をa,b,c,d,e,fのうち必要なものを用いて表せ。
αを複素数の定数、sを実数の定数とする。複素数zについての方程式
z(z-2α)+α(αz-z')=sz
を解け。
z(z-2α)+α(αz-z')=sz
を解け。
>>294
÷6で答え出すなら
n(aの箱=bの箱)=4
n(aの箱=cの箱)=4
n(bの箱=cの箱)=4
なので
(36+4+4+4)÷6=8
÷6で答え出すなら
n(aの箱=bの箱)=4
n(aの箱=cの箱)=4
n(bの箱=cの箱)=4
なので
(36+4+4+4)÷6=8
>>297
半径＝abe/√{(a+b+e)(a+b-e)(a-b+e)(-a+b+e)}
※一例で、他の文字でも表せる。
半径＝abe/√{(a+b+e)(a+b-e)(a-b+e)(-a+b+e)}
※一例で、他の文字でも表せる。
再掲すみません。どなたか分かりませんか？？
【至急 超難問】
数理経済、その中でもフランス現代思想の数理表現の問題です。
問「欲動を多様体、構造を構造群で表現した時、商空間が表現するものは、欲動を構造で分類した仮象である」
これを論証せよ。
どなたか分かりますか？
とある私大の経済系の授業で出題され、理解できた学生には大幅加点というシステムなのですが誰も分からず、yahoo知恵袋でも撃沈し、一縷の望みをかけ皆さんを頼らせて頂こうかと…
宜しくお願い致します。
【至急 超難問】
数理経済、その中でもフランス現代思想の数理表現の問題です。
問「欲動を多様体、構造を構造群で表現した時、商空間が表現するものは、欲動を構造で分類した仮象である」
これを論証せよ。
どなたか分かりますか？
とある私大の経済系の授業で出題され、理解できた学生には大幅加点というシステムなのですが誰も分からず、yahoo知恵袋でも撃沈し、一縷の望みをかけ皆さんを頼らせて頂こうかと…
宜しくお願い致します。
物理学部2年の者です。複素関数論の問題です。
z∈ℂ\[0,1]に対し、f(z) = ∫₀¹ dt/(t-z)とする。
(1)f(z)の連続性を示せ。
(2)次の極限を求めよ。ただし、s∈[0,1]
(a)lim[ε↓0]f(s+iε) (b)lim[ε↓0]f(s-iε)
よろしくお願いします。
z∈ℂ\[0,1]に対し、f(z) = ∫₀¹ dt/(t-z)とする。
(1)f(z)の連続性を示せ。
(2)次の極限を求めよ。ただし、s∈[0,1]
(a)lim[ε↓0]f(s+iε) (b)lim[ε↓0]f(s-iε)
よろしくお願いします。
>>301
これは困りましたね。
論証だから自由に考えを述べればいいんじゃないかな。
人間の脳の根本は情動（欲動＋愛情）で動きます。
脳に解剖学的な座標機能領野に関数と座標を導入します。
商空間は、脳機能探索の期待的表現である。
これは、かって日本最高の能楽者である松本元が刺激を与えた構想です。
彼の死とともに忘れられようとしていますが、根源的な情報処理学者は
これを追求しています。
その道の専門家「いるとしたら、理研脳センターあたりかな」に聞いてみるといいです。
これは困りましたね。
論証だから自由に考えを述べればいいんじゃないかな。
人間の脳の根本は情動（欲動＋愛情）で動きます。
脳に解剖学的な座標機能領野に関数と座標を導入します。
商空間は、脳機能探索の期待的表現である。
これは、かって日本最高の能楽者である松本元が刺激を与えた構想です。
彼の死とともに忘れられようとしていますが、根源的な情報処理学者は
これを追求しています。
その道の専門家「いるとしたら、理研脳センターあたりかな」に聞いてみるといいです。
ソーカル事件もあったのにまだそんなことしてるの
さすがに釣りだろ、本気にしてこれだから文系はwとかやらかさないほうがいいよ。
普通のオーソドックスな新古典派近代経済学でも無差別曲線という名の同値類割り商空間でミクロ経済学の議論するんだけどね。
人間も含めた動植物、生き物の生存と繁殖を目指した欲動も
ミクロ経済学も
ゲーム理論で一般に議論できる。
ナッシュ均衡がESS進化的安定戦略と同じものだと発見されたのがそういうことだからね。
利己的な遺伝子とおカネ絡みのミームの違いはあれど。
この手の議論は第二次大戦後の行動科学という分野の隆盛に対応するのが
戦後京都学派ノイマン氏近似
じゃないや
戦後京都学派の今西錦司以降の棲み分け≒ニッチ生態学的地位的な動物行動学だろうね。
おフランス哲学じゃなくて。
ミクロ経済学も
ゲーム理論で一般に議論できる。
ナッシュ均衡がESS進化的安定戦略と同じものだと発見されたのがそういうことだからね。
利己的な遺伝子とおカネ絡みのミームの違いはあれど。
この手の議論は第二次大戦後の行動科学という分野の隆盛に対応するのが
戦後京都学派ノイマン氏近似
じゃないや
戦後京都学派の今西錦司以降の棲み分け≒ニッチ生態学的地位的な動物行動学だろうね。
おフランス哲学じゃなくて。
「選好」として区別しない無差別だというのが一般には高次元でも議論できる無差別曲線だから。
あんまり専攻内容として食わず嫌いが少ない方だと自分自身自覚してるがおフランス現代思想の先公は感心せんな。自分が分かってない分野を学生のテストに出すなよ。
あんまり専攻内容として食わず嫌いが少ない方だと自分自身自覚してるがおフランス現代思想の先公は感心せんな。自分が分かってない分野を学生のテストに出すなよ。
前>>297Cの半径をrとすると、正弦定理より、
2rsin∠PQR=e
r=e/2sin∠PQR――①
余弦定理より、
cos∠PQR=(a^2+b^2-e^2)/2ab
sin∠PQR=√{1-(a^2+b^2-e^2)^2/4a^2･b^2}
①に代入し、
r=e/2√{1-(a^2+b^2-e^2)^2/4a^2･b^2}
=abe/2√{a^2･b^2-(a^2+b^2-e^2)^2/4}
=abe/√[4a^2･b^2-{(a^2+b^2)^2-2(a^2+b^2)e^2+e^4}]
=abe/√[4a^2･b^2-{a^4+2a^2･b^2+b^4-2(a^2+b^2)e^2+e^4}]
=abe/√(2a^2･b^2-a^4-b^4+2a^2･e^2+2b^2･e^2-e^4)=abe/√(2a^2･b^2+2a^2･e^2+2b^2･e^2-a^4-b^4-e^4)
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. ｀υ __ 前>>207
2rsin∠PQR=e
r=e/2sin∠PQR――①
余弦定理より、
cos∠PQR=(a^2+b^2-e^2)/2ab
sin∠PQR=√{1-(a^2+b^2-e^2)^2/4a^2･b^2}
①に代入し、
r=e/2√{1-(a^2+b^2-e^2)^2/4a^2･b^2}
=abe/2√{a^2･b^2-(a^2+b^2-e^2)^2/4}
=abe/√[4a^2･b^2-{(a^2+b^2)^2-2(a^2+b^2)e^2+e^4}]
=abe/√[4a^2･b^2-{a^4+2a^2･b^2+b^4-2(a^2+b^2)e^2+e^4}]
=abe/√(2a^2･b^2-a^4-b^4+2a^2･e^2+2b^2･e^2-e^4)=abe/√(2a^2･b^2+2a^2･e^2+2b^2･e^2-a^4-b^4-e^4)
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前>>310追加、訂正。>>300たしかにこうなる。
Cの半径をrとすると、正弦定理より、
2rsin∠PQR=e
r=e/2sin∠PQR――①
余弦定理より、
cos∠PQR=(a^2+b^2-e^2)/2ab
sin∠PQR=√{1-(a^2+b^2-e^2)^2/4a^2･b^2}
①に代入し、
r=e/2√{1-(a^2+b^2-e^2)^2/4a^2･b^2}
=abe/2√{a^2･b^2-(a^2+b^2-e^2)^2/4}
=abe/√[4a^2･b^2-{(a^2+b^2)^2-2(a^2+b^2)e^2+e^4}]
=abe/√[4a^2･b^2-{a^4+2a^2･b^2+b^4-2(a^2+b^2)e^2+e^4}]
=abe/√(2a^2･b^2-a^4-b^4+2a^2･e^2+2b^2･e^2-e^4)
=abe/√(2a^2･b^2+2a^2･e^2+2b^2･e^2-a^4-b^4-e^4)
=abe/√(a+b+e)(-a+b+e)(a-b+e)(a+b-e)
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Cの半径をrとすると、正弦定理より、
2rsin∠PQR=e
r=e/2sin∠PQR――①
余弦定理より、
cos∠PQR=(a^2+b^2-e^2)/2ab
sin∠PQR=√{1-(a^2+b^2-e^2)^2/4a^2･b^2}
①に代入し、
r=e/2√{1-(a^2+b^2-e^2)^2/4a^2･b^2}
=abe/2√{a^2･b^2-(a^2+b^2-e^2)^2/4}
=abe/√[4a^2･b^2-{(a^2+b^2)^2-2(a^2+b^2)e^2+e^4}]
=abe/√[4a^2･b^2-{a^4+2a^2･b^2+b^4-2(a^2+b^2)e^2+e^4}]
=abe/√(2a^2･b^2-a^4-b^4+2a^2･e^2+2b^2･e^2-e^4)
=abe/√(2a^2･b^2+2a^2･e^2+2b^2･e^2-a^4-b^4-e^4)
=abe/√(a+b+e)(-a+b+e)(a-b+e)(a+b-e)
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>>300
ヘロンの公式に似ていますが、導出過程で使うのでしょうか
私はこの問題が解けませんでした。三角比で計算していたので、原理的にはヘロンの公式と同等のことをやっているはずなのですが
ヘロンの公式に似ていますが、導出過程で使うのでしょうか
私はこの問題が解けませんでした。三角比で計算していたので、原理的にはヘロンの公式と同等のことをやっているはずなのですが
エレガントな解答にこだわらないなら三辺わかってる三角形四つもあるんだからどれ使ってもできんじゃないの？
R=(1/2) 辺×sin 対角 で余弦定理で cos 対角も出せるし。
R=(1/2) 辺×sin 対角 で余弦定理で cos 対角も出せるし。
すいません、
fを多項式とする
f(y)-f(x)は(y-x)で割り切れることを因数定理より示せ。
これが分かりません
バカですみませんがよろしくお願いします
因数定理は理解してますが使いこなせません
fを多項式とする
f(y)-f(x)は(y-x)で割り切れることを因数定理より示せ。
これが分かりません
バカですみませんがよろしくお願いします
因数定理は理解してますが使いこなせません
全項書き出して同じ係数を持つ同じべきの各項を引いてくくれば、全てy-xでくくれて割り切れる、のはわかりますが、因数定理との結びつきがわかりません…
yを定数としてfy-fxをxについての式だと見る
fy-fxのxにyを代入して0になるのが明らか、だからx-yを因数に持つ
fy-fxのxにyを代入して0になるのが明らか、だからx-yを因数に持つ
xを定数と思ってg (y) = f (y) - f (x) とおけ
隣り合う(= ad-bc=1が成り立つ)2分数a/bとc/d(文字は全て自然数)の間にある分数の中で分母が最小であるのは(a+c)/(b+d)であることを証明せよ。
お願いします
お願いします
farey 数列でググりたまえ
>>298
自己解決しませんでした。
α=0 のときは z(z-s)=0, z=0,s
α≠0 のとき、与式から
(z -2α + αα-s)z = αz'
ここで
z = r･e^(iθ) (r,θは実数)
とおくと
z = 2α -αα + s + α･exp(-2iθ)
さて、どうするか･････
自己解決しませんでした。
α=0 のときは z(z-s)=0, z=0,s
α≠0 のとき、与式から
(z -2α + αα-s)z = αz'
ここで
z = r･e^(iθ) (r,θは実数)
とおくと
z = 2α -αα + s + α･exp(-2iθ)
さて、どうするか･････
1次と2次のキュムラントがE[X]とE[(X-μ)^2]に一致するのはなぜなのでしょうか
xを定数だと思って f(y) - f(x) を y-x で割る。
f(y) - f(x) = (y-x)Q(x,y) + R(x),
ここで yにxを代入すれば
R(x) = 0,
f(y) - f(x) = (y-x)Q(x,y) + R(x),
ここで yにxを代入すれば
R(x) = 0,
>>298
z′はzの共役複素数ですか？
それならば与式の共役な式
z′(z′-2α′)+α′(α′z′-z)=sz′
に与式をz′=の形に変形したものを代入すると力業でおそらく解けます
z′はzの共役複素数ですか？
それならば与式の共役な式
z′(z′-2α′)+α′(α′z′-z)=sz′
に与式をz′=の形に変形したものを代入すると力業でおそらく解けます
5715
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！
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ｈｔｔｐｓ://twitter.com/Fu_L12345654321/status/1144528199654633477
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
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>>312
ヘロンの公式と似ているのは、余弦定理、正弦定理、
sin^2＋cos^2＝1を使って色々するからかな。
答えをヘロンの公式みたいにa+b+e＝Sとかと置いて表すと、
少し簡単な形にはできるね。
>>297の問題のポイントは、
結局、どの長さが独立して決まって、
どこからが外接円の半径に影響しない長さになるのかに気づくことだろう。
円上にある３点が決まってしまえば、円は一意に決まる。
それは、例えば、△PQRが決まるということと等しい。
△ＰＱＲが決まれば、頂点Ｓの場所は自由に決められない。
つまり、△ＰＱＲの外接円の円周上のどこかにＳを取らないといけなくなり、
どこに取ったとしても、外接円の半径は不変である。
だから、答えは、（例えば、）a、b、eだけで表せないとおかしいということに気づく。
この問題は要するに、「円に内接する△ＡＢＣの辺の長さをa、b、cとしたとき、
外接円の半径をa、b、cで表せ。」
という問題と同じことをすればよいと気づけば、だいぶ話は簡単になる。
正弦定理と余弦定理（とsin^2＋cos^2＝1）を組み合わせて、
外接円の半径を辺の長さで表せばよい。
ヘロンの公式と似ているのは、余弦定理、正弦定理、
sin^2＋cos^2＝1を使って色々するからかな。
答えをヘロンの公式みたいにa+b+e＝Sとかと置いて表すと、
少し簡単な形にはできるね。
>>297の問題のポイントは、
結局、どの長さが独立して決まって、
どこからが外接円の半径に影響しない長さになるのかに気づくことだろう。
円上にある３点が決まってしまえば、円は一意に決まる。
それは、例えば、△PQRが決まるということと等しい。
△ＰＱＲが決まれば、頂点Ｓの場所は自由に決められない。
つまり、△ＰＱＲの外接円の円周上のどこかにＳを取らないといけなくなり、
どこに取ったとしても、外接円の半径は不変である。
だから、答えは、（例えば、）a、b、eだけで表せないとおかしいということに気づく。
この問題は要するに、「円に内接する△ＡＢＣの辺の長さをa、b、cとしたとき、
外接円の半径をa、b、cで表せ。」
という問題と同じことをすればよいと気づけば、だいぶ話は簡単になる。
正弦定理と余弦定理（とsin^2＋cos^2＝1）を組み合わせて、
外接円の半径を辺の長さで表せばよい。
>>323
log( E[exp(tX)] )
= log( 1 + tE[X] + tt/2! E[XX] + ... )
= (tE[X] + tt/2! E[XX]) - 1/2 (tE[X] + tt/2! E[XX])^2 + ...
= tE[X] + tt/2! E[XX] - 1/2 tt (E[X])^2 + ...
= tE[X] + tt/2! E[(X-μ)^2] + ...
∵ E[(X-μ)^2] = E[XX -2Xμ + μμ] = E[XX] - 2μμ + μμ = E[XX] - E[X]^2
log( E[exp(tX)] )
= log( 1 + tE[X] + tt/2! E[XX] + ... )
= (tE[X] + tt/2! E[XX]) - 1/2 (tE[X] + tt/2! E[XX])^2 + ...
= tE[X] + tt/2! E[XX] - 1/2 tt (E[X])^2 + ...
= tE[X] + tt/2! E[(X-μ)^2] + ...
∵ E[(X-μ)^2] = E[XX -2Xμ + μμ] = E[XX] - 2μμ + μμ = E[XX] - E[X]^2
受験用語だと思いますが「解けない漸化式」というのがあります。例えば、
a[1]=2
a[n+1]=na[n]/(n+a[1]+...+a[n])
のように一般項が初等的に表せないもののことだと思うのですが、このような数列で、極限が初等的な形で求まるかどうか判別する方法はありますか？
a[1]=2
a[n+1]=na[n]/(n+a[1]+...+a[n])
のように一般項が初等的に表せないもののことだと思うのですが、このような数列で、極限が初等的な形で求まるかどうか判別する方法はありますか？
0 < a[n+1]=na[n]/(n+a[1]+...+a[n]) =a[n]/{ 1+(a[1]+...+a[n])/n } < a[n]
下に有界な減少数列なので収束する。 収束値 をα とすると
→ α = α /(1 + α) より ∴ α = 0 ( (a[1]+...+a[n])/n → α を使った )
一般的な判別方法なんて無い。
手持ち道具 (例では下に有界な減少数列、平均の収束) を使って出来るだけの事をするしかない。
他にも収束値αが存在すると仮定して矛盾を引き出せれば、発散or 振動が言える。
下に有界な減少数列なので収束する。 収束値 をα とすると
→ α = α /(1 + α) より ∴ α = 0 ( (a[1]+...+a[n])/n → α を使った )
一般的な判別方法なんて無い。
手持ち道具 (例では下に有界な減少数列、平均の収束) を使って出来るだけの事をするしかない。
他にも収束値αが存在すると仮定して矛盾を引き出せれば、発散or 振動が言える。
>>315
z=a+ibと置いて実部と虚部に分けてそれぞれ連続であることを示しました、あんまり綺麗なやり方ではないと思うのですが…
原始関数であるLogを使った解法も考えたのですが、僕は上手くいかなかったです…
z=a+ibと置いて実部と虚部に分けてそれぞれ連続であることを示しました、あんまり綺麗なやり方ではないと思うのですが…
原始関数であるLogを使った解法も考えたのですが、僕は上手くいかなかったです…
分野としては差分ガロア理論で、定理としては漸化式の解を添加した差分体がリウヴィル拡大になるかどうかかな
(確か差分方程式の場合は解を添加すると体どころか整域ですらなくなる場合があるから差分体では不十分かも)
ただし具体的にガロア群(代数群)を計算するのは線形のときですらそれ自体難しい問題だし、非線形なんてまだまだ発展途上の段階
(確か差分方程式の場合は解を添加すると体どころか整域ですらなくなる場合があるから差分体では不十分かも)
ただし具体的にガロア群(代数群)を計算するのは線形のときですらそれ自体難しい問題だし、非線形なんてまだまだ発展途上の段階
>>332
f(z+h) - f(z) = ∫₀¹ dt 1/(t-z-h) - 1/(t-z) = ∫₀¹ dt h/{(t-z-h)(t-z)}
L := inf { |z-t| | t ∈ [0,1] } ( = distance{ z, [0,1] } ) と置き
任意のε (正数) に対して, | h| < min( L/2, ε L.L/2 ) となるように h を選べば
・| t-z-h | = |(z-t) +h| ≧ |z-t| - |h| ≧ L - L/2 = L/2
・|f(z+h) - f(z)| ≦ ∫₀¹ dt |h|/|(t-z-h)(t-z)| ≦ ∫₀¹ dt |h|/|(L/2).L| = |h|/|(L/2).L| < ε
よって f(z) は連続である.
∫₀¹ dt 1/(t-z) = log(1 -z) - log(0-z) = log|1 -z| + i arg (1-z) - log|-z| - i arg(-z)
偏角arg(...) の選び方に注意すれば後半は簡単
f(z+h) - f(z) = ∫₀¹ dt 1/(t-z-h) - 1/(t-z) = ∫₀¹ dt h/{(t-z-h)(t-z)}
L := inf { |z-t| | t ∈ [0,1] } ( = distance{ z, [0,1] } ) と置き
任意のε (正数) に対して, | h| < min( L/2, ε L.L/2 ) となるように h を選べば
・| t-z-h | = |(z-t) +h| ≧ |z-t| - |h| ≧ L - L/2 = L/2
・|f(z+h) - f(z)| ≦ ∫₀¹ dt |h|/|(t-z-h)(t-z)| ≦ ∫₀¹ dt |h|/|(L/2).L| = |h|/|(L/2).L| < ε
よって f(z) は連続である.
∫₀¹ dt 1/(t-z) = log(1 -z) - log(0-z) = log|1 -z| + i arg (1-z) - log|-z| - i arg(-z)
偏角arg(...) の選び方に注意すれば後半は簡単
>>334
すごい、これεδ論法で解けたんですね……ありがとうございます！
なんとなくmin{L/2, εL.L/2}を考えるところが連続関数の商の連続性の証明に似てる気がします……
すごい、これεδ論法で解けたんですね……ありがとうございます！
なんとなくmin{L/2, εL.L/2}を考えるところが連続関数の商の連続性の証明に似てる気がします……
αz'/z = z -2α + αα -s,
その複素共役は
α'z/z' = z' -2α' + α'α' -s,
辺々掛けて平方根すると
|α| = | z -2α + αα -s|
だから
z -2α + αα -s = α e^(ib),
さて、どうするか････
その複素共役は
α'z/z' = z' -2α' + α'α' -s,
辺々掛けて平方根すると
|α| = | z -2α + αα -s|
だから
z -2α + αα -s = α e^(ib),
さて、どうするか････
>>321
ファレイ数列で暫く色んなサイト見たんですけど行列式とか使っていてよく理解できないです
与えられた式から変形などで証明はできないのでしょうか？
ファレイ数列で暫く色んなサイト見たんですけど行列式とか使っていてよく理解できないです
与えられた式から変形などで証明はできないのでしょうか？
>>337
字面だけ追ってけば証明は理解できるだろうけど、それで終わりではダメだろ？
キチンと(a,b), (c,d)と原点を3頂点に含む平行四辺形の周、内部に格子点が4個しかないこと、それがどのように主張につながっていくか理解しないと。
行列は数学続けるなら必須なんだから勉強しとけよ。
字面だけ追ってけば証明は理解できるだろうけど、それで終わりではダメだろ？
キチンと(a,b), (c,d)と原点を3頂点に含む平行四辺形の周、内部に格子点が4個しかないこと、それがどのように主張につながっていくか理解しないと。
行列は数学続けるなら必須なんだから勉強しとけよ。
>>339
確かにそれも大切だと思います。
しかしまだ高校生なので今の知識と実力で理解できる解法では解けないのかな、と思って質問した次第です。
平行四辺形を利用する方法では自分では恐らく少し改題されただけで解けなくなりそうなので式変形などから解ける方法を探しています。
確かにそれも大切だと思います。
しかしまだ高校生なので今の知識と実力で理解できる解法では解けないのかな、と思って質問した次第です。
平行四辺形を利用する方法では自分では恐らく少し改題されただけで解けなくなりそうなので式変形などから解ける方法を探しています。
間にある分数を p/q とおく
分母を払って差をとってそれらを s，t とおく
その等式を p，q について解く
分母を払って差をとってそれらを s，t とおく
その等式を p，q について解く
f(x,y)=|xy|が偏微分可能な点ってどう求めればいいですか？
〔類題〕
円Cに内接する四角形PQRSは、PQ=a、QR=b、RS=c、SP=dであるが、内部は立入禁止である。
Cの半径を a, b, c, d を用いて表せ。
円Cに内接する四角形PQRSは、PQ=a、QR=b、RS=c、SP=dであるが、内部は立入禁止である。
Cの半径を a, b, c, d を用いて表せ。
答えは
半径 = √{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)/(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}
らしい。
なお、対角線の積は ef = ac+bd (トレミーの定理)
半径 = √{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)/(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}
らしい。
なお、対角線の積は ef = ac+bd (トレミーの定理)
>>341
c/d<p/q<a/bとする(但しad-bc=1)
p/q-c/d=(dp-cq)/dq>0
a/b-p/q=(aq-bp)/bq>0
dp-cq=s,aq-bp=tとおく
2式を連立して解くと
q=bs+dt
代入して
p=as+ct
よって
p/q=(as+ct)/(bs+dt)
各数は自然数なので明らかにs=t=1で最小でありそのとき
p/q=(a+c)/(b+d)
合ってますか?
c/d<p/q<a/bとする(但しad-bc=1)
p/q-c/d=(dp-cq)/dq>0
a/b-p/q=(aq-bp)/bq>0
dp-cq=s,aq-bp=tとおく
2式を連立して解くと
q=bs+dt
代入して
p=as+ct
よって
p/q=(as+ct)/(bs+dt)
各数は自然数なので明らかにs=t=1で最小でありそのとき
p/q=(a+c)/(b+d)
合ってますか?
そのp/qが既約であるのは何故？
>>346
p/q=(a+c)/(b+d) の分子分母の最大公約数をgとおくと
互いに素な自然数mnを用いて
a+c=gm,b+d=gnとおける
このときp/q=m/nとなりp=m,q=n
b+dが最小となるからn=b+dであり、g=1
したがって既約
p/q=(a+c)/(b+d) の分子分母の最大公約数をgとおくと
互いに素な自然数mnを用いて
a+c=gm,b+d=gnとおける
このときp/q=m/nとなりp=m,q=n
b+dが最小となるからn=b+dであり、g=1
したがって既約
微分不可能とはなんだ？
>>347
p=a+c, q=b+d のとき既約を証明してもダメなのでは？
p/q はそれ以外のc/dとa/bの間の元なんだから。
つまりp=as+ctとq=bs+dtのGCDが1を言わないと。
一般にはad-bc=1から行列[[a,b],[c,d]]の定める一次変換がZ係数で可逆なのを利用して
gcd(p,q)=gcd(1,1)=1
といくもんだけど行列使いたくないとか贅沢なこと言ってるからな。
もちろん行列使えば一発で済む事をグチャグチャ初等的な変形だけでも示せるだろうけど、そんな事してなんの役に立つものやら。
p=a+c, q=b+d のとき既約を証明してもダメなのでは？
p/q はそれ以外のc/dとa/bの間の元なんだから。
つまりp=as+ctとq=bs+dtのGCDが1を言わないと。
一般にはad-bc=1から行列[[a,b],[c,d]]の定める一次変換がZ係数で可逆なのを利用して
gcd(p,q)=gcd(1,1)=1
といくもんだけど行列使いたくないとか贅沢なこと言ってるからな。
もちろん行列使えば一発で済む事をグチャグチャ初等的な変形だけでも示せるだろうけど、そんな事してなんの役に立つものやら。
>>330
a[1] = 2,
a[2] = 2/3,
a[3] = 2/7,
a[4] = 18/125,
より
a[1] + a[2] + a[3] + a[4] = 3 + 253/8128 > 3,
n≧4 のとき
a[n+1] < a[n] * n/(n+3) < a[n] * {(n+2)/(n+3)}^3, ････ (*)
a[n+1](n+3)^3 < a[n] (n+2)^3 < ････ < a[4] (4+2)^3 = 31.104
∴ a[n] < 31.104/(n+2)^3,
∴ Σ a[k] は収束する。(α=0)
s = a[1] + a[2] + ････ = 3.35753325
n >>1 では
a[n] ≒ 37.9/n^(s-1),
a[1] + a[2] + ････ + a[n] ≒ s - 16.1/n^s,
* {1,1,n/(n+3)} で GM-AM すると n/(n+3) < {(n+2)/(n+3)}^3,
a[1] = 2,
a[2] = 2/3,
a[3] = 2/7,
a[4] = 18/125,
より
a[1] + a[2] + a[3] + a[4] = 3 + 253/8128 > 3,
n≧4 のとき
a[n+1] < a[n] * n/(n+3) < a[n] * {(n+2)/(n+3)}^3, ････ (*)
a[n+1](n+3)^3 < a[n] (n+2)^3 < ････ < a[4] (4+2)^3 = 31.104
∴ a[n] < 31.104/(n+2)^3,
∴ Σ a[k] は収束する。(α=0)
s = a[1] + a[2] + ････ = 3.35753325
n >>1 では
a[n] ≒ 37.9/n^(s-1),
a[1] + a[2] + ････ + a[n] ≒ s - 16.1/n^s,
* {1,1,n/(n+3)} で GM-AM すると n/(n+3) < {(n+2)/(n+3)}^3,
長くては困るということでより実用的な機能を追加しておいた
https://pastebin.com/hzdfNr6t
引数無しなら前回といっしょ
1つの引数で、それが素数か判定。素数ならそれを返す。倍数なら返さない。
2つの引数で、その2つの区間の素数を書きだす。1万以下だけ必要でもコードに手を入れる必要はない。
数の上限は 大体上のjpg画像あたりが限界だ
ちなみに引数無しでのtxt 出力は5GBで、7zipすると500MB程度に収まる
https://pastebin.com/hzdfNr6t
引数無しなら前回といっしょ
1つの引数で、それが素数か判定。素数ならそれを返す。倍数なら返さない。
2つの引数で、その2つの区間の素数を書きだす。1万以下だけ必要でもコードに手を入れる必要はない。
数の上限は 大体上のjpg画像あたりが限界だ
ちなみに引数無しでのtxt 出力は5GBで、7zipすると500MB程度に収まる
>>352
俺は PARI/GP って数式ソフトを電卓代わりに使ってる。これオススメだよ。
かなり軽量だし数論関係のコマンドも充実してる。
ちょっとしたプログラムも書けるからそういう欲求にも答えてくれると思う。
俺は PARI/GP って数式ソフトを電卓代わりに使ってる。これオススメだよ。
かなり軽量だし数論関係のコマンドも充実してる。
ちょっとしたプログラムも書けるからそういう欲求にも答えてくれると思う。
>>353
thanks
GPL のマルチプラットフォーム言語か
個人的には電卓なら Common Lisp が気にいっている
---
しょせん素数ジェネレータはおみやげだ
昔の自分は大きな素数が書いてある素数表を貴重だと思って買ったことがある
しかしこれがあれば広辞苑のようなぶ厚い素数表が出版されたとしても、
買う必要がない
純粋なおみやげなんだ
thanks
GPL のマルチプラットフォーム言語か
個人的には電卓なら Common Lisp が気にいっている
---
しょせん素数ジェネレータはおみやげだ
昔の自分は大きな素数が書いてある素数表を貴重だと思って買ったことがある
しかしこれがあれば広辞苑のようなぶ厚い素数表が出版されたとしても、
買う必要がない
純粋なおみやげなんだ
PARI/GP 、例えば...
? for(k=0,2000, n=10^100+k; if( isprime(n), printf("prime! 10^100 + %d\n",k)))
prime! 10^100 + 267
prime! 10^100 + 949
prime! 10^100 + 1243
prime! 10^100 + 1293
prime! 10^100 + 1983
こういうアホな思いつきでもすぐ実行できるのが楽しい
しかもメモリが許す限りの任意桁長の計算が可能
? for(k=0,2000, n=10^100+k; if( isprime(n), printf("prime! 10^100 + %d\n",k)))
prime! 10^100 + 267
prime! 10^100 + 949
prime! 10^100 + 1243
prime! 10^100 + 1293
prime! 10^100 + 1983
こういうアホな思いつきでもすぐ実行できるのが楽しい
しかもメモリが許す限りの任意桁長の計算が可能
>>355
その大きな数で実用的だとすると
計算済みの素数記録してキャッシュにしてるかんじだな
(素数定理によると約230倍の速度で計算しているはず)
メモリ消費は心配だけど、非常に便利だね
その大きな数で実用的だとすると
計算済みの素数記録してキャッシュにしてるかんじだな
(素数定理によると約230倍の速度で計算しているはず)
メモリ消費は心配だけど、非常に便利だね
Σ[k=0,n] {C(n,k)}^m っていう和がわかりません。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%CE%A3%5Bk%3D0,n%5D+%7BC(n,k)%7D%5Em
先生も知らないって
先生も知らないって
優収束定理使いたいんですけど|n*sin(x/n)*{x*(x+1)}^(-1)|を上から抑える関数の例って何かありますか
1/|x+1| とか？
>>357
上限なら・・・・
・nが偶数の場合
k = n/2 のとき最大。
C(n,n/2±j) = C(n,n/2) n(n-2)････(n-2j+2)/{(n+2)(n+4)････(n+2j)}
< C(n,n/2) {n/(n+2)}^(j^2) ････ (*)
= C(n,n/2) x^(j^2),
(与式) < C(n,n/2)^m・θ_3(0,x^m)
ここに x = n/(n+2),
(*) (n-2j+2)/(n+2j) ≦ {n/(n+2)}^(2j-1) = x^(2j-1),
・nが奇数の場合
k = (n-1)/2, k = (n+1)/2 のとき最大。
C(n,(n+1)/2+j) = C(n,(n-1)/2-j)
= C(n,(n+1)/2) (n-1)(n-3)････(n+1-2j)/{(n+3)(n+5)････(n+1+2j)}
< C(n,(n+1)/2) {(n-1)/(n+3)}^{j(j+1)/2} ････ (**)
= C(n,(n+1)/2) y^{j(j+1)},
(与式) < C(n,(n+1)/2)^m・(y^m)^(-1/4)・θ_2(0,y^m)
ここに y = √{(n-1)/(n+3)},
(**) (n+1-2j)/(n+1+2j) ≦ {(n-1)/(n+3)}^j = y^(2j),
θ_2(0,z) = Σ[j=-∞,∞] z^{(j+1/2)^2}
θ_3(0,z) = Σ[j=-∞,∞] z^(j^2)
は楕円テータ函数
上限なら・・・・
・nが偶数の場合
k = n/2 のとき最大。
C(n,n/2±j) = C(n,n/2) n(n-2)････(n-2j+2)/{(n+2)(n+4)････(n+2j)}
< C(n,n/2) {n/(n+2)}^(j^2) ････ (*)
= C(n,n/2) x^(j^2),
(与式) < C(n,n/2)^m・θ_3(0,x^m)
ここに x = n/(n+2),
(*) (n-2j+2)/(n+2j) ≦ {n/(n+2)}^(2j-1) = x^(2j-1),
・nが奇数の場合
k = (n-1)/2, k = (n+1)/2 のとき最大。
C(n,(n+1)/2+j) = C(n,(n-1)/2-j)
= C(n,(n+1)/2) (n-1)(n-3)････(n+1-2j)/{(n+3)(n+5)････(n+1+2j)}
< C(n,(n+1)/2) {(n-1)/(n+3)}^{j(j+1)/2} ････ (**)
= C(n,(n+1)/2) y^{j(j+1)},
(与式) < C(n,(n+1)/2)^m・(y^m)^(-1/4)・θ_2(0,y^m)
ここに y = √{(n-1)/(n+3)},
(**) (n+1-2j)/(n+1+2j) ≦ {(n-1)/(n+3)}^j = y^(2j),
θ_2(0,z) = Σ[j=-∞,∞] z^{(j+1/2)^2}
θ_3(0,z) = Σ[j=-∞,∞] z^(j^2)
は楕円テータ函数
添字演算についてです。vを3次元ベクトル
w=rot(v)とするとき
(|w|)^2を添字演算によって求めてください。
(w_i)(w_i)=(ε_ijk)(ε_ijk)(∂v_k/∂x_j)(∂v_k/∂x_j)
から進めません。
w=rot(v)とするとき
(|w|)^2を添字演算によって求めてください。
(w_i)(w_i)=(ε_ijk)(ε_ijk)(∂v_k/∂x_j)(∂v_k/∂x_j)
から進めません。
>>363
・(ε_ijk)(ε_ij’k’) = δ_jj’δ_kk’ - δ_jk’δ_kj’
↑この公式を覚えておくと
ベクトル解析の公式で面倒なやつの大半が一瞬で導出できるようになります。
(自力で「発見」した時はどうして教えてくれなかった！と思いました)
|w|^2 = (w_i)(w_i)=(ε_ijk)(ε_ij’k’)(∂v_k/∂x_j)(∂v_k’/∂x_j’)
= (δ_jj’δ_kk’ - δ_jk’δ_kj’)(∂v_k/∂x_j)(∂v_k’/∂x_j’)
= (∂v_k/∂x_j)(∂v_k/∂x_j) - (∂v_k/∂x_j)(∂v_j/∂x_k)
= tr( M(M^t - M ) ) (行列: M_ij = ∂v_j/∂x_i と置きました)
最後の変形は必要なのか分からないけど添え字を消したいならこんな感じという事です
・(ε_ijk)(ε_ij’k’) = δ_jj’δ_kk’ - δ_jk’δ_kj’
↑この公式を覚えておくと
ベクトル解析の公式で面倒なやつの大半が一瞬で導出できるようになります。
(自力で「発見」した時はどうして教えてくれなかった！と思いました)
|w|^2 = (w_i)(w_i)=(ε_ijk)(ε_ij’k’)(∂v_k/∂x_j)(∂v_k’/∂x_j’)
= (δ_jj’δ_kk’ - δ_jk’δ_kj’)(∂v_k/∂x_j)(∂v_k’/∂x_j’)
= (∂v_k/∂x_j)(∂v_k/∂x_j) - (∂v_k/∂x_j)(∂v_j/∂x_k)
= tr( M(M^t - M ) ) (行列: M_ij = ∂v_j/∂x_i と置きました)
最後の変形は必要なのか分からないけど添え字を消したいならこんな感じという事です
>>359
すいません|n*sin(x/n)*{x*(x+1)}^(-1)|じゃなくて|n*sin(x/n)*{x*(1+x^2)}^(-1)|でした
すいません|n*sin(x/n)*{x*(x+1)}^(-1)|じゃなくて|n*sin(x/n)*{x*(1+x^2)}^(-1)|でした
>>365
調べたらisprime関数は1000桁の判定に15分～30分かかる、と書いてあったのを見つけた。
WolframAlpha先生に試しにisprime 10^1000+453を聞いたらすぐに素数と返してきたけど、これはどうやって判定してるのかねえ。
調べたらisprime関数は1000桁の判定に15分～30分かかる、と書いてあったのを見つけた。
WolframAlpha先生に試しにisprime 10^1000+453を聞いたらすぐに素数と返してきたけど、これはどうやって判定してるのかねえ。
上の方で PARI/GP を推しましたが、今は pythonで何でもできますね。 そういう時代なんですね。
bpython 等のREPL(対話式インターフェース) で、電卓代わりに使えますし、plotも綺麗ですし。
PARI/GPの利点は「ほん少しだけ起動が早い」「追加パッケージのinstall&import が不要」くらいでしょうか。
import time, gmpy2 # gmpy2 はググって見つけた数論パッケージ
t=time.time()
li= list( filter( lambda n:gmpy2.is_prime(n), [10**1000+k for k in range(2000) ]) )
t=time.time()-t
print(f" length: {len(li)}\n time: {t*(10*3):7.2f} msec\n" )
--->
length: 2 {10^1000+0...10^1000+1999 の範囲に素数は2つだけ}
time: 105.01 msec
PARI/GP で同じように 1000桁バージョンやらせたら数分待っても応答無しなので諦めました。
大半の数が直ぐに素数判定できるんですが、判定が苦手な数がポツポツ混じっていました。
isprime(10^1000 + 453) \\ 例えばコレとか... Wolfram先生や python のはアルゴリズムが異なるようですね。
bpython 等のREPL(対話式インターフェース) で、電卓代わりに使えますし、plotも綺麗ですし。
PARI/GPの利点は「ほん少しだけ起動が早い」「追加パッケージのinstall&import が不要」くらいでしょうか。
import time, gmpy2 # gmpy2 はググって見つけた数論パッケージ
t=time.time()
li= list( filter( lambda n:gmpy2.is_prime(n), [10**1000+k for k in range(2000) ]) )
t=time.time()-t
print(f" length: {len(li)}\n time: {t*(10*3):7.2f} msec\n" )
--->
length: 2 {10^1000+0...10^1000+1999 の範囲に素数は2つだけ}
time: 105.01 msec
PARI/GP で同じように 1000桁バージョンやらせたら数分待っても応答無しなので諦めました。
大半の数が直ぐに素数判定できるんですが、判定が苦手な数がポツポツ混じっていました。
isprime(10^1000 + 453) \\ 例えばコレとか... Wolfram先生や python のはアルゴリズムが異なるようですね。
例えば PARI/GP の場合
? isprime(10^1000 + 453)
*** isprime: Warning: increasing stack size to 16000000.
*** isprime: Warning: increasing stack size to 32000000.
*** isprime: Warning: increasing stack size to 64000000.
{これ明らかに途中でキャッシュを積み増ししてるんですが、その後応答無し}
Wolfram先生は キャッシュ利用以外にも何かやってると思います。
? isprime(10^1000 + 453)
*** isprime: Warning: increasing stack size to 16000000.
*** isprime: Warning: increasing stack size to 32000000.
*** isprime: Warning: increasing stack size to 64000000.
{これ明らかに途中でキャッシュを積み増ししてるんですが、その後応答無し}
Wolfram先生は キャッシュ利用以外にも何かやってると思います。
>>369
そのPythonはあまりに速すぎるけどやっぱりキャッシュなのかな？
|length: 2 {10^1000+0...10^1000+1999 の範囲に素数は2つだけ}
もうひとつは10^1000+1357
これもWolframAlphaは即座に判定する
そのPythonはあまりに速すぎるけどやっぱりキャッシュなのかな？
|length: 2 {10^1000+0...10^1000+1999 の範囲に素数は2つだけ}
もうひとつは10^1000+1357
これもWolframAlphaは即座に判定する
>>371
wolframengine インストールしてやってみたが
異常な早さだね
オフラインにしても変らないから鯖のデータベースに問いあわせてすらない
2からsqrt prime までの素数で試しに割っていく
ような速度じゃない
やはりハッシュ、素数をキーとしてそれが素数か否かを計算済みのハッシュを
調べているような速度だ
ファイル化のために大きなn進数を使っているのか、独自バイナリを使っているのか
目星はつかないがそういうことだと思う 早すぎる
wolframengine インストールしてやってみたが
異常な早さだね
オフラインにしても変らないから鯖のデータベースに問いあわせてすらない
2からsqrt prime までの素数で試しに割っていく
ような速度じゃない
やはりハッシュ、素数をキーとしてそれが素数か否かを計算済みのハッシュを
調べているような速度だ
ファイル化のために大きなn進数を使っているのか、独自バイナリを使っているのか
目星はつかないがそういうことだと思う 早すぎる
>>371
結局、その二つが素数なんですね。素数じゃない事の判定は一瞬で。
やはり根本的なアルゴリズムが違うのでしょう
> あまりに速すぎる
ミリ秒表示で t*(10**3) とするべき箇所が t*(10*3) (= t*30 て...) になってました。
import time
import gmpy2 as gm
t=time.time(); li= list( filter( lambda n: gm.is_prime(n), [10**1000+k for k in range(2000)])); t=time.time()-t
print(f" length: {len(li)}\n time: {t*(10**3):7.2f} msec\n" )
--->
length: 2
time: 3529.49 msec {それでも速い}
import time
import sympy.ntheory.primetest as sm # gmpy2 よりも sympyパッケージの方が有名 (たぶん)
t=time.time(); li= list( filter( lambda n: sm.isprime(n), [10**1000+k for k in range(2000)])); t=time.time()-t
print(f" length: {len(li)}\n time: {t*(10**3):7.2f} msec\n" )
--->
length: 2
time: 5270.99 msec {ちょっとだけ遅い。アルゴリズムが異なるのか微妙な実装テクニックの差なのかは不明}
結局、その二つが素数なんですね。素数じゃない事の判定は一瞬で。
やはり根本的なアルゴリズムが違うのでしょう
> あまりに速すぎる
ミリ秒表示で t*(10**3) とするべき箇所が t*(10*3) (= t*30 て...) になってました。
import time
import gmpy2 as gm
t=time.time(); li= list( filter( lambda n: gm.is_prime(n), [10**1000+k for k in range(2000)])); t=time.time()-t
print(f" length: {len(li)}\n time: {t*(10**3):7.2f} msec\n" )
--->
length: 2
time: 3529.49 msec {それでも速い}
import time
import sympy.ntheory.primetest as sm # gmpy2 よりも sympyパッケージの方が有名 (たぶん)
t=time.time(); li= list( filter( lambda n: sm.isprime(n), [10**1000+k for k in range(2000)])); t=time.time()-t
print(f" length: {len(li)}\n time: {t*(10**3):7.2f} msec\n" )
--->
length: 2
time: 5270.99 msec {ちょっとだけ遅い。アルゴリズムが異なるのか微妙な実装テクニックの差なのかは不明}
>>373
素数じゃないよ 倍数だよ
という判定なら
6k +-1 の形をしていない とか
ある程度大きい時、1桁目が1,3,7,9では無いとか
の判定混ぜれば早くできる
数が大きいと素数じゃないほうが大きいので、
そういう早期に倍数判定下せる方法盛るほうが
早さを出せるはず
素数じゃないよ 倍数だよ
という判定なら
6k +-1 の形をしていない とか
ある程度大きい時、1桁目が1,3,7,9では無いとか
の判定混ぜれば早くできる
数が大きいと素数じゃないほうが大きいので、
そういう早期に倍数判定下せる方法盛るほうが
早さを出せるはず
PARI/GP は数論関係のソフトウェアとしては老舗なので、そういうのやってないはずがないと思うんですけどねえ。
群論の問題ですがお願いします
Gを有限群、HをGの部分群、G≠H、(G:H)=k、Gはk!で割り切れないとする
このとき、HはGの単位元のみでない正規部分群を部分群として持つことを示せ
Gを有限群、HをGの部分群、G≠H、(G:H)=k、Gはk!で割り切れないとする
このとき、HはGの単位元のみでない正規部分群を部分群として持つことを示せ
wolfram engine は
In をキーとして Out をハッシュに入れているね
複雑な積分をIn に入れて
2回目からは一瞬でOut 出してきた
In をキーとして Out をハッシュに入れているね
複雑な積分をIn に入れて
2回目からは一瞬でOut 出してきた
https://www.wolfram.com/technologies/nb/index.ja.html?footer=lang
>ノートブックをテキストエディタ等で編集すると，無効なキャッシュデータが使われる可能性があります．これを防ぐためには，Wolfram言語ベースの製品以外でノートブックを編集する際に，ファイル上部付近にあるCacheIDを指定した行を必ず削除してください
なんかキャッシュの説明もあるね。調査終了
>ノートブックをテキストエディタ等で編集すると，無効なキャッシュデータが使われる可能性があります．これを防ぐためには，Wolfram言語ベースの製品以外でノートブックを編集する際に，ファイル上部付近にあるCacheIDを指定した行を必ず削除してください
なんかキャッシュの説明もあるね。調査終了
そこかよｗ
10進法表記された自然数kの各桁の数を足し合わせた値をf(k)とおく。
例えば、k=3のときf(k)=3、k=25のときf(k)=2+5=7、k=1605のときf(k)=1+6+0+5=12、である。
（1）任意の自然数nに対して、f(n)≤nであることを示せ。また等号が成り立つnを全て求めよ。
（2）10^p≤n<10^(p+1)の範囲で、f(n)とlog(n)の大小を比較せよ。
ここでpは自然数の定数、log(n)は常用対数である。
例えば、k=3のときf(k)=3、k=25のときf(k)=2+5=7、k=1605のときf(k)=1+6+0+5=12、である。
（1）任意の自然数nに対して、f(n)≤nであることを示せ。また等号が成り立つnを全て求めよ。
（2）10^p≤n<10^(p+1)の範囲で、f(n)とlog(n)の大小を比較せよ。
ここでpは自然数の定数、log(n)は常用対数である。
どこまでわかったかかけ
>>383
（1）は1,2,3,4,5,6,7,8,9で、それ以上はn=a[i]*10^i+...と表記すれば容易にn>f(n)でした。
（2）はlog10が「桁数-1」なので111...110のような場合にイコールになることは分かりました。その先の場合分けがよくわかりません。
（1）は1,2,3,4,5,6,7,8,9で、それ以上はn=a[i]*10^i+...と表記すれば容易にn>f(n)でした。
（2）はlog10が「桁数-1」なので111...110のような場合にイコールになることは分かりました。その先の場合分けがよくわかりません。
>>376
成立せんのじゃね？
Gが位数10の二面体群、Hをシロー2群とすればk=[G:H]=5で|G|=10は5!=120で割り切れないけどHの部分群でGの正規部分群になるのは自明群しかないけど？
成立せんのじゃね？
Gが位数10の二面体群、Hをシロー2群とすればk=[G:H]=5で|G|=10は5!=120で割り切れないけどHの部分群でGの正規部分群になるのは自明群しかないけど？
めんどくさい反例
|G|=3,|H|=1って反例になる？
そこでサブロー群の登場です
>>392
(1) f(θ) = cos4θ - {単調増加関数} だから最大値は直ぐ分かる。
微分して極値をとる点を探せば最小値も分かる。
(2) f(x) = x^3 -3x と y=x のグラフを描けば分かる。
(1) f(θ) = cos4θ - {単調増加関数} だから最大値は直ぐ分かる。
微分して極値をとる点を探せば最小値も分かる。
(2) f(x) = x^3 -3x と y=x のグラフを描けば分かる。
>>393
ちゃんと答えをかけよ偉そうにヒントみたいなの出して助けた気になってるおまえみたいなゴミが一番邪魔
ちゃんと答えをかけよ偉そうにヒントみたいなの出して助けた気になってるおまえみたいなゴミが一番邪魔
2問目は東大の過去問を簡単にしたバージョンだな。
1問目は微分する必要すらない。
cosの倍角公式を使ってsin^2の項をcos2θで書いて、cos4θの項もcosの倍角使ってcos2θで表示すれば、cos2θについての二次関数になる。
あとはcos2θの値域(-1以上1以下)調べて解けばいいだけ
cosの倍角公式を使ってsin^2の項をcos2θで書いて、cos4θの項もcosの倍角使ってcos2θで表示すれば、cos2θについての二次関数になる。
あとはcos2θの値域(-1以上1以下)調べて解けばいいだけ
2問目はもとは2004年東大理科の第４問だな。
平凡に解くとすらっとは解けない。それほど難しいわけではないが、地道な場合分けが必要。
具体的にfの増減調べてグラフを書いて、aの値ごとの解の個数と解の位置(-2,-1,1,2との大小)を調べて場合分けしていくと普通に解ける。
平凡に解くとすらっとは解けない。それほど難しいわけではないが、地道な場合分けが必要。
具体的にfの増減調べてグラフを書いて、aの値ごとの解の個数と解の位置(-2,-1,1,2との大小)を調べて場合分けしていくと普通に解ける。
背景にあるチェビシェフの多項式を見抜けば一発だが、凡人が実戦的に思いついて得点できる解法ではない。
（x=2cosθとおくと、x^3-3x=2cos3θとなる）
（x=2cosθとおくと、x^3-3x=2cos3θとなる）
これお願いします
10進法表記された自然数kの各桁の数を足し合わせた値をf(k)とおく。
例えば、k=3のときf(k)=3、k=25のときf(k)=2+5=7、k=1605のときf(k)=1+6+0+5=12、である。
（1）（解けた、（2）とも独立なので省略）
（2）10^p≤n<10^(p+1)の範囲で、f(n)とlog(n)の大小を比較せよ。
ここでpは自然数の定数、log(n)は常用対数である。
10進法表記された自然数kの各桁の数を足し合わせた値をf(k)とおく。
例えば、k=3のときf(k)=3、k=25のときf(k)=2+5=7、k=1605のときf(k)=1+6+0+5=12、である。
（1）（解けた、（2）とも独立なので省略）
（2）10^p≤n<10^(p+1)の範囲で、f(n)とlog(n)の大小を比較せよ。
ここでpは自然数の定数、log(n)は常用対数である。
>>394
そしてこういうアホはid替わるとしれっと書き込むんだよな
自分がクズなの自覚してほしいが、クズだからわからない
匿名だからこの手のキチガイには対処できないのが辛いね
そしてこういうアホはid替わるとしれっと書き込むんだよな
自分がクズなの自覚してほしいが、クズだからわからない
匿名だからこの手のキチガイには対処できないのが辛いね
>>392
(下)
関数 f(x) = x^3 -3x について以下の問いに答えよ。
(1) aを定数とする。f(x)=aを満たす実数xの個数を求めよ。
(2) f(f(x)) = 0 を満たす実数xの個数を求めよ。
(3) f(f(f(x))) = 0 を満たす実数xの個数を求めよ。
(略解)
f(x) = 2･T_3(x/2), ････ 第一種チェビシェフ多項式
x = 2cosθ とおくと >>398
f(x) = 2cos(3θ)
f(f(x)) = 2cos(9θ),
f(f(f(x))) = 2cos(27θ),
(1) |a| < 2 のとき 3個
|a| = 2 のとき 2個
|a| > 2 のとき 1個
(2) 9個
(3) 27個
(下)
関数 f(x) = x^3 -3x について以下の問いに答えよ。
(1) aを定数とする。f(x)=aを満たす実数xの個数を求めよ。
(2) f(f(x)) = 0 を満たす実数xの個数を求めよ。
(3) f(f(f(x))) = 0 を満たす実数xの個数を求めよ。
(略解)
f(x) = 2･T_3(x/2), ････ 第一種チェビシェフ多項式
x = 2cosθ とおくと >>398
f(x) = 2cos(3θ)
f(f(x)) = 2cos(9θ),
f(f(f(x))) = 2cos(27θ),
(1) |a| < 2 のとき 3個
|a| = 2 のとき 2個
|a| > 2 のとき 1個
(2) 9個
(3) 27個
すみません行列の基本的なことで質問なんですけど2×1行列×2×2行列って計算できませんよね？
数学板の皆様、もしよければ加勢をお願いします
円周率=2を数学的に厳密に証明したったったったｗｗｗｗｗｗキョウェエエエエｗｗｗｗ
http://2chb.net/r/news4vip/1563916696/
円周率=2を数学的に厳密に証明したったったったｗｗｗｗｗｗキョウェエエエエｗｗｗｗ
http://2chb.net/r/news4vip/1563916696/
この問題が分かりません。
解をα、βとおいてα^nやβ^nを作っても周期性が見えてこないです。
a,bを実数とする。方程式
x^2+ax+b=0
の重複も込めた2解をα、βとし、数列{a_n}を
a_n=α^n+β^n
で定める。このとき{a_n}が周期をもつための、a,bが満たすべき条件を求めよ。
ただし数列{a_n}が周期をもつとは、あるpが存在して、任意のnに対してa_n=a_(n+p)が成り立つことをいう。
解をα、βとおいてα^nやβ^nを作っても周期性が見えてこないです。
a,bを実数とする。方程式
x^2+ax+b=0
の重複も込めた2解をα、βとし、数列{a_n}を
a_n=α^n+β^n
で定める。このとき{a_n}が周期をもつための、a,bが満たすべき条件を求めよ。
ただし数列{a_n}が周期をもつとは、あるpが存在して、任意のnに対してa_n=a_(n+p)が成り立つことをいう。
>>407
実係数2次方程式の2解なので α = r*e^{+iθ}, β = r*e^{-iθ} と置く.
・r = |α| = |β| = 1 である.
そうでないと n→∞ で 発散または 0 に収束する.
2 cos(nθ) = e^{+inθ}+ e^{-inθ} = e^{+i(n+p)θ}+ e^{-i(n+p)θ} = 2 cos((n+p)θ) であり,
一方で cos(nθ)=cos(ξ) となるのは ξ = nθ + 2π N または ξ = -nθ + 2π N (Nは整数)
の場合に限られる. つまり pθ = 2π N または (2n+p)θ = 2π N
いずれにしろ
・θ = π Q (Q: 有理数) の形になっている.
逆にこのとき周期性を持つ事は明らか.
解と係数の関係より
a = -(α+β) = - e^{+iπQ} - e^{-iπQ} = 2 cos(πQ)
b = αβ = e^{+iπQ} e^{-iπQ} = 1
( 勝手に α=β=0 はナシとさせてもらったが
一応は x^2 = 0 の2重根である. 周期１として解に含めたければご自由に )
実係数2次方程式の2解なので α = r*e^{+iθ}, β = r*e^{-iθ} と置く.
・r = |α| = |β| = 1 である.
そうでないと n→∞ で 発散または 0 に収束する.
2 cos(nθ) = e^{+inθ}+ e^{-inθ} = e^{+i(n+p)θ}+ e^{-i(n+p)θ} = 2 cos((n+p)θ) であり,
一方で cos(nθ)=cos(ξ) となるのは ξ = nθ + 2π N または ξ = -nθ + 2π N (Nは整数)
の場合に限られる. つまり pθ = 2π N または (2n+p)θ = 2π N
いずれにしろ
・θ = π Q (Q: 有理数) の形になっている.
逆にこのとき周期性を持つ事は明らか.
解と係数の関係より
a = -(α+β) = - e^{+iπQ} - e^{-iπQ} = 2 cos(πQ)
b = αβ = e^{+iπQ} e^{-iπQ} = 1
( 勝手に α=β=0 はナシとさせてもらったが
一応は x^2 = 0 の2重根である. 周期１として解に含めたければご自由に )
>>407
そんなもん問題にすらなってない。
強いて言えば
a=-2cos(2π/p)となる自然数pが存在し、b=1
とかだろうけど必要十分条件なんか一意に定まるものではない。
どこのカスが作った問題か知らんけどんな事も分からん奴の作った問題なんかほっとけ。
そんなもん問題にすらなってない。
強いて言えば
a=-2cos(2π/p)となる自然数pが存在し、b=1
とかだろうけど必要十分条件なんか一意に定まるものではない。
どこのカスが作った問題か知らんけどんな事も分からん奴の作った問題なんかほっとけ。
(3)の解答を教えて頂きたいです。
また、(2)について、
Bが非正則ならBx=0を満たす非自明なxが存在するので条件に反し矛盾。よってBは正則。
という議論で解いたのですがこれだと〈Bx,x〉が実数という条件がいりません。なにか間違っているのでしょうか？
どなたかよろしくお願いします。
以下の場合分け証明法はどういう意味ですか？
推論規則
（場合分け証明法）
命題の列の中に、 A ∨ B, C および C がこの順序で現れ（間隔をおいてでもよい）、前の C には A が仮定として先行しており、
後の C には B が仮定として先行しているならば、 A と B は仮定から取り除いてもよい。
推論規則
（場合分け証明法）
命題の列の中に、 A ∨ B, C および C がこの順序で現れ（間隔をおいてでもよい）、前の C には A が仮定として先行しており、
後の C には B が仮定として先行しているならば、 A と B は仮定から取り除いてもよい。
>>408
α=0 のとき、βまたはβ^p-1のいずれかは0でなければならない。β=0の場合も同様。
よってこのときの(a,b)の実数解は、(0,0),(1,0),(-1,0),
α=0 のとき、βまたはβ^p-1のいずれかは0でなければならない。β=0の場合も同様。
よってこのときの(a,b)の実数解は、(0,0),(1,0),(-1,0),
>>410
(2)に関しては余計な条件かもしれませんが、
エルミート行列の話に限定したかっただけでしょう。間違ってはいません。
(3)
C,D 其々エルミート行列なので、固有値(n個, 実数)、固有ベクトル( n個) を次のようにとる事ができる.
s=rank(C), t=rank(D)
ci≠0 (i=1..s), ci=0 (i=s+1..n)
di≠0 (i=1..t), di≠0 (i=t+1..n)
C.Vci = ci.Vci, D.Vdi = di.Vdi (i=1..n)
＜Vci, Vcj＞ = ＜Vdi, Vdj＞ = δ[ij]
変換行列: P (正則) , Vci = P[ij] Vdj
条件より
・＜D.Vdi, Vdi＞ = di ≧ 0 (i=1..n)
・i=s+1..n のとき、0 = ci = ＜C.Vci, Vci＞ ≧ ＜D.Vci, Vci＞
= Σ{jk} P[ij]P[ik]^* ＜D.Vdj, Vdk＞ = Σ{j} P[ij]P[ij]^* dj ≧ 0
よって P[ij] = 0 (i=s+1..n, j=1..t) ---(A)
行列 Pを列ベクトルの並び (p1,...,pn) とみなすと、
特に p1..pt は 一次独立であり、(A)により実質的には s次元数ベクトルである
よって s ≧ t (数ベクトルの一次独立性)
(2)に関しては余計な条件かもしれませんが、
エルミート行列の話に限定したかっただけでしょう。間違ってはいません。
(3)
C,D 其々エルミート行列なので、固有値(n個, 実数)、固有ベクトル( n個) を次のようにとる事ができる.
s=rank(C), t=rank(D)
ci≠0 (i=1..s), ci=0 (i=s+1..n)
di≠0 (i=1..t), di≠0 (i=t+1..n)
C.Vci = ci.Vci, D.Vdi = di.Vdi (i=1..n)
＜Vci, Vcj＞ = ＜Vdi, Vdj＞ = δ[ij]
変換行列: P (正則) , Vci = P[ij] Vdj
条件より
・＜D.Vdi, Vdi＞ = di ≧ 0 (i=1..n)
・i=s+1..n のとき、0 = ci = ＜C.Vci, Vci＞ ≧ ＜D.Vci, Vci＞
= Σ{jk} P[ij]P[ik]^* ＜D.Vdj, Vdk＞ = Σ{j} P[ij]P[ij]^* dj ≧ 0
よって P[ij] = 0 (i=s+1..n, j=1..t) ---(A)
行列 Pを列ベクトルの並び (p1,...,pn) とみなすと、
特に p1..pt は 一次独立であり、(A)により実質的には s次元数ベクトルである
よって s ≧ t (数ベクトルの一次独立性)
